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幂函数指数函数对数函数

2022-08-10 06:38:00 【叶仙】

幂函数
$\f 使用宏定义为 f(#1) y = x^u$ (u为实数)

幂函数 $\f 使用宏定义为 f(#1) y = x^u$ 的定义域和值域取决于u的取值，当x>0时， $\f 使用宏定义为 f(#1) y = x^u$ 都有定义。
常见幂函数：y=x, $\f 使用宏定义为 f(#1) y = x^2$ , $\f 使用宏定义为 f(#1) y = x^3$ $\f 使用宏定义为 f(#1) y = \sqrt[3]{x} , y=\sqrt{x},y=\frac{1}{x}。$

指数函数
$\f 使用宏定义为 f(#1) y=a^x$ (a>0,a $\not =$ 1)

定义域：（- $\infty$ ，+ $\infty$ ），值域：（0，+ $\infty$ ）。
单调性：当a>1时， $y=a^x$ 单调增；当0<a<1时， $y=a^x$ 单调减。
常见指数函数： $y=e^x$ ，单调增， $\lim \atop x\rightarrow-\infty$ $e^x =0$ , $\lim \atop x\rightarrow +\infty$ $e^x =+\infty$ 。
部分解释：a $\not =$ 1就不用说了，a=1就全是1了；a>0，如果a<0,比如a= -5，那么便是 $y=(-5)^x$ , x可以为 $\frac{1}{2}$ ，即 $\sqrt{-5}$ ，很明显根号内不能为零，为零是没意义的； $0^0=1,0^n=0(n>0),0^-\raisebox{0.25em}{n} =\frac{1}{0^n}(n>0)(而分母是不能为0的)$

对数函数

$\raisebox{0.25em}{y} \raisebox{0.25em}{=} \raisebox{0.25em}{log} a \raisebox{0.25em}{x}$ (a>0,a $\not =$ 1)

定义域：（0，+ $\infty$ ）,值域：（- $\infty$ ，+ $\infty$ ）。
单调性：当a>1时， $\raisebox{0.25em}{y} \raisebox{0.25em}{=} \raisebox{0.25em}{log} a \raisebox{0.25em}{x}$ 单调增；当0<a<1时， $\raisebox{0.25em}{y} \raisebox{0.25em}{=} \raisebox{0.25em}{log} a \raisebox{0.25em}{x}$ 单调减。
常见对数函数： $y = l n x$ ，单调增， $\lim \atop x\rightarrow-\infty$ $lnx=-\infty$ , $\lim \atop x\rightarrow +\infty$ $=+\infty$ 。
部分解释：如果a不大于0，可能出现一个x对应多个y值，这不符合函数的定义，如a=-1， $-1\raisebox{0.25em}{y}=x$ ,如x=1，那可是有无数个y与其对应