[NOIP2001 提高组] 数的划分

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题目描述

将整数 $n$ 分成 $k$ 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

例如：$n=7$，$k=3$，下面三种分法被认为是相同的。

$1,1,5$;
$1,5,1$;
$5,1,1$.

问有多少种不同的分法。

输入格式

$n,k$ （$6<n\le 200$，$2\le k\le 6$）

输出格式

$1$ 个整数，即不同的分法。

样例 #1

样例输入 #1

7 3

样例输出 #1

4

提示

四种分法为：
$1,1,5$;
$1,2,4$;
$1,3,3$;
$2,2,3$.

一、dp解法

$dp[i][j]$ 代表把数字 i 划分成 j 个数。
当划分的数里面有 1 的时候 方案数为 $dp[i-1][j-1]$
不含 1 的时候 $dp[i-x][x]$, 针对这个方案我们可以先往每一个划分的区域里面先放一个1，然后再进行划分。

最后可以得到动态转换方程:

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>

using namespace std;

int dp[220][220];

int main()
{
    
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) dp[i][1] = dp[i][0] = 1;
    for (int i = 2; i <= k; i ++ ) dp[1][i] = dp[0][i] = 0;
    
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        for (int j = 2; j <= k; j ++ )
            if (i > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j];
            else dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
        
    cout << dp[n][k] << '\n';
    return 0;
}