[Advanced Mathematics] Advanced Number Arrangement: Common Equivalent Infinitesimals, Derivatives and Differentials, Differential Equations

一、常见等价无穷小

当 $x\to 0$ 时,

$\sin x\sim x$

$\tan x\sim x$

$\arcsin x\sim x$

$\arctan x\sim x$

$e^x-1\sim x$, $a^x-1\sim x\ln a$

$\ln (1+x)\sim x$, $lo{g}_a(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}$

$\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x$

$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$

$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$

$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$

$\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}{x}^3$

$\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$

$x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3$

当 $x\to \infty$ 时,

$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$, A trend in parentheses 0 .

二、导数 / 微分

1. 利用导数的定义：

   $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

   $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

2. 常见函数的导数

3. 双曲函数 和 反双曲函数

   	函数名	表达式
   	双曲正弦 $\mathrm{sh}x$	$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
   	双曲余弦 $\mathrm{ch}x$	$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
   	双曲正切 $\mathrm{th}x$	$\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
   	反双曲正弦 $\mathrm{arcsh}x$	$\mathrm{arcsh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$
   1	反双曲余弦 $\mathrm{arcch}x$	$\mathrm{arcch}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$
   	反双曲正切 $\mathrm{arcth}x$	$\mathrm{arcth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$

三、微分方程

1. 可分离变量的微分方程 $[\mathbf{形如}：\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)]$

   ① After separating the variables,两端积分.

   [② Determine the constants according to the definite solution conditions]

2. 齐次方程 $[\mathbf{形如}：\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\phi (\frac{y}{x})]$,

   看 $x、y$ Whether the coefficient of degree is symmetric.

   ① 令 $u=\frac{y}{x}$, 则 $y=ux$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$.

   ② 代入方程,分离变量 $x$ 和 $u $后,两端积分.

   ③ 用 $\frac{y}{x}$代替 $u$ .

   [④ Determine the constants according to the definite solution conditions]

3. 一阶线性微分方程 $[形如：\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y=Q(x)]$

   (1) 当 $Q(x)=0$ 时,方程为『齐次』. （对应于 非齐次线性方程 的齐次线性方程 ）

   ​ A general solution to a homogeneous linear equation：$y=C{e}^{-\int P(x)\text{d}x}$

   (2) 当 $Q(x)\not\equiv 0$ 时,方程为『非齐次』. （非齐次线性方程）

   ​ 非A general solution to a homogeneous linear equation：$y=e^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C)$

   ​ 展开式：$y=C{e}^{-\int P(x)\text{d}x}+e^{-\int P(x)\text{d}x}\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x$

4. 伯努利方程 $[\mathbf{形如}：\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y=Q(x)\cdot y^n,(n\ne 0,1)]$

   ① 两端同除以 $y^n$

   ② 设 $z=y^{1-n}$,则 $\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$

   ​ 代入,得 $\frac{1}{1-n}\cdot \frac{\text{d}z}{\text{d}x}+P(x)z=Q(x)$

   ​ $\frac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$

   ③先求 $z$,再求 $y$.

5. 可降阶的高阶微分方程

   (1) $[\mathbf{形如}：y^{(n)}=f(x)]$

   ​ 两端积分,得 $y^{(n-1)}=\int f(x)\text{d}x+C_1$

   ​ Score until 得到通解 时.

   (2) $[\mathbf{形如}：y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })]$,没有 y

   ​ 设 $p=y^{\prime }$,则 $y^{\prime \prime }=p^{\prime }$,

   ​ 代入,得到 $p^{\prime }$ 关于 $p$ 和 $x$ 的方程 $p^{\prime }=f(x,p)$

   (3) $[\mathbf{形如}：y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })]$,没有 x

   ​ 设 $p=y^{\prime }$,则 $y^{\prime \prime }=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p\cdot \text{d}y}{\text{d}x\cdot \text{d}y}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$

   ​ 代入,得到 $p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}=f(y,p)$

   ​ Separation of variables to solve,之后把 $p=y^{\prime }$ 代入,

   ​ [Find one of the constants based on known conditions,Continue to solve for separated variables.根据已知,Find the second constant]

线性相关 与 线性无关

• 定义：对于定义在区间 $I$ 上的 n 个函数,Linear correlation is obtained if the following formula holds,否则无关.

$$k_1{y}_1+k_2{y}_2+\cdots +k_n{y}_n\equiv 0,(\forall x\in I)(k_1,k_2,\cdots ,k_n不全为0)$$

二阶微分方程：A method to determine whether an equation is linear

​ 若 $y_1(x),y_2(x)$线性无关$\iff$$\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\not\equiv$ 常数.

6. 高阶线性微分方程

• 二阶

  $$[形如：\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}+P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+Q(x)y=f(x)]\text{\hspace{1em}(6-1)}$$

  ① 齐次：$f(x)\equiv 0$,设 $(6-2)$ 是 $(6-1)$ The corresponding homogeneous equation.

  • 性质：homogeneous equationAdd any two solutions（或乘 $C$ ）的结果仍是solution of this homogeneous equation.
  • 定理 1 ：如果函数 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是方程 $(6-2)$ 的两个解,那么 函数 $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$,也是方程 $(6-2)$ 的解.
    • 注意：函数 $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ Not necessarily an equation $(6-2)$ 的通解.
  • 定理 2 ：如果 函数 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是 线性无关 的特解,则函数 $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$是方程 $(6-2)$ 的通解

  ② 非齐次：$f(x)\not\equiv 0$

• n 阶

  $$[形如：y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_{n}y=f(x)]\text{\hspace{1em}(6-n-1)}$$

  ① 齐次：

  如果 函数 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$ 是 线性无关 的特解,the functional equation $(6-n-1)$ 的通解为：

  $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$