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1959年高考数学真题

2022-04-23 16:32:19 淦数学

试卷综述

本套试卷题量较1958年题量有所增加,增加到了10个题目,对数计算时隔两年又回归了,没前面几年考查的勤快;复数是时隔9年又回到高考;数列单独作为一道题目首次亮相出现在高考中;三角方面的知识一直没断过,本套试卷将余弦定理和面积公式结合起来考察,现行高考还是一个考察的点,时代在变,考察方式还是没有多大的改变。

题目及知识点分布如下:

表格来自自己整理
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有亮点的试题

  • 第5题,考察了平行线间距离处处相等,线面平行,则直线上任意点到平面的距离处处相等;

  • 第7题,余弦定理与面积公式结合到一起,现行高考也是结合起来的方式进行考察,现在高考变为取值范围的问法;

  • 第8题,数列作为单独的一个考题首次亮相,前面基本属于三角形相关知识的附带品

有训练价值的题目及适用范围

表格来自自己整理
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1.已知 , ,求

2.求 的值.

3.解不等式

4.求 的值

5.不在同一平面的三条直线 互相平行, 上两定点,求证另两顶点分别在 上的四面体体积为定值

6.圆台上底面积为 ,下底直径为 ,母线为 ,求圆台的侧面积

7.已知 中, ,面积为 ,求

8.已知三个数成等差数列,第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍,如果第二个数减去2,则成等比数列,求这三个数

10.已知 为直线 上三点,且 ; 外一点,且 ,求

(1) 的正弦、余弦、正切;

(2) 的长;

(3) 点到 的距离.

试卷正文

1.已知 , ,求

【解题笔记】 ,

  • 对数运算性质类似题目

    • 1951年第18题 已知 ,求 .

    • 1953年第4题 求

    • 1956年第1题 利用对数性质计算 .

2.求 的值.

【解题笔记】复数的运算性质

  • 类似问题
    • 1950年第7题 设 都是实数, ,且 ,则 ( ), ( ).

    • 1950年第12题 设 为实数,已知方程 的一根为 ,求 的值。

3.解不等式

【解题笔记】一元二次不等式的求解

  • 同类试题

    • 1951年第9题 当 时,x的值的范围如何?

    • 1957年第2题 求适合不等式 的实数x的范围

4.求 的值

【解题笔记】诱导公式,再利用倍角公式即可

  • 同类试题
    • 1953年第5题 求 =?

    • 1957年第3题 求证

5.不在同一平面的三条直线 互相平行, 上两定点,求证另两顶点分别在 上的四面体体积为定值

【解题笔记】根据题意画出图形如下:

几何画板作图
几何画板作图

为直线 上的定点,直线 平行,所以不论点 在直线 上的哪个位置, 的面积始终不变,又 互相平行,因此无论点 在直线 的什么位置,从点 到平面 的距离为定值,所以四面体体积为一个定值。

6.圆台上底面积为 ,下底直径为 ,母线为 ,求圆台的侧面积

【解题笔记】先求上底面圆的半径,再利用圆台侧面积计算公式即可

  • 类似问题
    • 1951年第17题有同底同高的圆柱及圆锥,已知圆柱的体积为18立方尺,求圆锥的体积

    • 1952年第11题 直圆锥之底半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为多少立方尺?

    • 1954年第5题 已知球的半径等于r,试求内接正方体的体积

7.已知 中, ,面积为 ,求

【解题笔记】利用面积公式 与余弦定理得到关于 的方程组,求解方程组即可

  • 考察余弦定理的题目
    • 1951年第22题 设△ABC的三边 , , ,求 ,并证 的等差中项

    • 1952年第23题 设三角形的边长为 ,其对角依次为 , , , 三角为锐角或钝角?

    • 1955年第第2题 等腰三角形的一腰的长是底边的4倍,求这三角形各角的余弦.

    • 1956年第4题 一个三角形三边长分别为3尺,4尺及 尺,求这个三角形的最大角的度数

    • 1956年第9题 若三角形的三个角成等差数列,则其中有一个角一定是 ;若这样的三角形的三边又成等比数列,则三个角都是 ,试证明之

8.已知三个数成等差数列,第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍,如果第二个数减去2,则成等比数列,求这三个数

【解题笔记】设三个数分别为 ,根据题意列出关于 的方程组,求解方程组即可。

9.已知圆 的两弦 延长相交于 ,过 点引 的延长线于 ,过 点作圆 的切线 ,求证: .

几何画板作图
几何画板作图

【解题笔记】根据切割线定理可知: ,其次证明

10.已知 为直线 上三点,且 ; 外一点,且 ,求

(1) 的正弦、余弦、正切;

(2) 的长;

(3) 点到 的距离.

几何画板
几何画板

【解题笔记】

法一

, ,点 到直线 的距离为

可知

中,由正弦定理可知:

代入 中,就得到关于 的一个等式,进而可以求出

法二

做辅助线:过点 ,交 于点 ,过点 于点 ,辅助线如下:

几何画板作图
几何画板作图

易知: ,进而得到 ,可以得到 的正切值,再根据同角三角函数,进而可以得出正弦、余弦值。

第二、三问就解直角三角形即可。

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