1959年高考数学真题

试卷综述

本套试卷题量较1958年题量有所增加，增加到了10个题目，对数计算时隔两年又回归了，没前面几年考查的勤快；复数是时隔9年又回到高考；数列单独作为一道题目首次亮相出现在高考中；三角方面的知识一直没断过，本套试卷将余弦定理和面积公式结合起来考察，现行高考还是一个考察的点，时代在变，考察方式还是没有多大的改变。

题目及知识点分布如下：

「有亮点的试题」

• 第5题，考察了平行线间距离处处相等，线面平行，则直线上任意点到平面的距离处处相等；

• 第7题，余弦定理与面积公式结合到一起，现行高考也是结合起来的方式进行考察，现在高考变为取值范围的问法；

• 第8题，数列作为单独的一个考题首次亮相，前面基本属于三角形相关知识的附带品

有训练价值的题目及适用范围

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1．已知 , ,求

2．求 的值.

3．解不等式

4．求 的值

5．不在同一平面的三条直线 互相平行， 、 为 上两定点，求证另两顶点分别在 及 上的四面体体积为定值

6．圆台上底面积为 ，下底直径为 ，母线为 ，求圆台的侧面积

7．已知 中， ， ，面积为 ，求 和 ．

8．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数

10．已知 、 、 为直线 上三点，且 ; 为 外一点，且 ， ，求

(1) 的正弦、余弦、正切;

(2) 的长;

(3) 点到 的距离.

试卷正文

1．已知 , ,求

【解题笔记】 ,

• 对数运算性质类似题目

  • 1951年第18题 已知 ,求 .

  • 1953年第4题 求

  • 1956年第1题 利用对数性质计算 .

2．求 的值.

【解题笔记】复数的运算性质

• 类似问题

  • 1950年第7题 设 都是实数， ，且 ,则 ( ), ( ).

  • 1950年第12题 设 、 为实数，已知方程 的一根为 ,求 、 的值。

3．解不等式

【解题笔记】一元二次不等式的求解

• 同类试题

  • 1951年第9题 当 时，x的值的范围如何？

  • 1957年第2题 求适合不等式 的实数x的范围

4．求 的值

【解题笔记】诱导公式，再利用倍角公式即可

• 同类试题

  • 1953年第5题 求 =?

  • 1957年第3题 求证

5．不在同一平面的三条直线 互相平行， 、 为 上两定点，求证另两顶点分别在 及 上的四面体体积为定值

【解题笔记】根据题意画出图形如下：

点 为直线 上的定点，直线 与 平行，所以不论点 在直线 上的哪个位置， 的面积始终不变，又 互相平行，因此无论点 在直线 的什么位置，从点 到平面 的距离为定值，所以四面体体积为一个定值。

6．圆台上底面积为 ，下底直径为 ，母线为 ，求圆台的侧面积

【解题笔记】先求上底面圆的半径，再利用圆台侧面积计算公式即可

• 类似问题

  • 1951年第17题有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积

  • 1952年第11题 直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？

  • 1954年第5题 已知球的半径等于r，试求内接正方体的体积

7．已知 中， ， ，面积为 ，求 和 ．

【解题笔记】利用面积公式 与余弦定理得到关于 的方程组，求解方程组即可

• 考察余弦定理的题目

  • 1951年第22题 设△ABC的三边 , , ,求 ，并证 为 及 的等差中项

  • 1952年第23题 设三角形的边长为 ， ， ，其对角依次为 ， ， 求 , , , 问 三角为锐角或钝角？

  • 1955年第第2题 等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦.

  • 1956年第4题 一个三角形三边长分别为3尺，4尺及 尺，求这个三角形的最大角的度数

  • 1956年第9题 若三角形的三个角成等差数列，则其中有一个角一定是 ;若这样的三角形的三边又成等比数列，则三个角都是 ，试证明之

8．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数

【解题笔记】设三个数分别为 ，根据题意列出关于 的方程组，求解方程组即可。

9．已知圆 的两弦 和 延长相交于 ，过 点引 交 的延长线于 ，过 点作圆 的切线 ，求证： .

【解题笔记】根据切割线定理可知： ,其次证明

10．已知 、 、 为直线 上三点，且 ; 为 外一点，且 ， ，求

(1) 的正弦、余弦、正切;

(2) 的长;

(3) 点到 的距离.

【解题笔记】

「法一」

设 , ，点 到直线 的距离为 。

可知

在 中，由正弦定理可知： ，

将 代入 中，就得到关于 的一个等式，进而可以求出

「法二」

做辅助线：过点 作 ，交 于点 ,过点 作 交 于点 ，辅助线如下：

易知： ， ，进而得到 ，可以得到 的正切值，再根据同角三角函数，进而可以得出正弦、余弦值。

第二、三问就解直角三角形即可。