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数学-求和符号的性质

2022-08-05 02:48:00 【Code_LT】

1. 单重求和

$\sum_{i=1}^nf(x_i)=f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)$

1.1 性质1，提取公因式

若 $h (y, z)$ 的取值和x无关，则有：
$\sum_{i=1}^nh(y,z)f(x_i)=h(y,z)\sum_{i=1}^nf(x_i)$
将变量 $i$ 写成 $x_i$ 更形象：
$\sum_{x_i}h(y,z)f(x_i)=h(y,z)\sum_{x_i}f(x_i)$
上面有了简写，实际上 $x_i \in X$ ， $X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ :
$\sum_{x_i \in X}通常可简写为\sum_{x_i}，表示累加所有x_i可取的值$

2. 多重求和

以两重求和为例：
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(x_i)h(y_j)=f(x_1)\sum_{j=1}^mh(y_j)+f(x_2)\sum_{j=1}^mh(y_j)+\cdots+f(x_n)\sum_{j=1}^mh(y_j)=再展开就省略不写了$

2.1 性质1，符号顺序可换

两重：

$\sum_{i=1}^n{\color{red} \sum_{j=1}^m}f(x_i)h(y_j)={\color{red} \sum_{j=1}^m}\sum_{i=1}^nf(x_i)h(y_j)$
注意，当某个求和的范围受另一个变量限制时，符号交换律就不适用了，如：
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\color{red} i}f(x_i)h(y_j) {\color{red} \neq}\sum_{j=1}^ {\color{red} i}\sum_{i=1}^nf(x_i)h(y_j)$
多重：
$\sum_{x_i}\sum_{y_j}\sum_{z_k}f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)=\sum_{z_k}\sum_{y_j}\sum_{x_i}f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)$
$f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)$ 可看做一个函数 $f(x_1,x_2,x_3)$ ，则得到更通用的形式：

$\sum_{x_i}\sum_{y_j}\sum_{z_k}f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{z_k}\sum_{y_j}\sum_{x_i}f(x_1,x_2,x_3)$
牢记可调换的前提：x,y,z的取值范围，相互没有影响。

2.1 性质2，符号可分别求

有时候，为了求解的方便，我们并不希望函数 $f(x_1,x_2,x_3)$ 写成一个整体，而是拆开后分别求值。
$\sum_{x_i}\sum_{y_j}\sum_{z_k}f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)=\sum_{x_i}f_1(x_i)\sum_{y_j}f_2(y_j)\sum_{z_k}f_3(z_k)$
x,y,z的取值范围也要满足相互没有影响，可通过展开计算进行简单的证明。
上述性质的好处在于，可将复杂的问题分成三个部分分别计算，再求乘积。