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【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例 | A 向量分析 | B 向量分析 | 输入序列分析 | matlab 代码 )

2022-04-21 13:09:00 【韩曙亮_】

文章目录

一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例

1、B 向量元素 : x(n) 参数
2、A 向量元素 : y(n) 参数
3、输入序列
4、matlab 代码

一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例

描述某个 " 线性时不变系统 " 的 " 线性常系数差分方程 " 如下 :

y ( n ) = 1.5 x ( n ) + 0.7 y ( n − 1 ) y(n) = 1.5x(n) + 0.7y(n-1) y(n)=1.5x(n)+0.7y(n−1)

输入序列 :

x ( n ) = δ ( n ) x(n) = \delta (n) x(n)=δ(n)

边界条件 / 初始条件 :

y ( − 1 ) = 1 y(-1) = 1 y(−1)=1

求该 LTI 系统的输出序列 ;

线性常系数差分方程公式 :

y ( n ) = ∑ i = 0 M b i x ( n − i ) − ∑ i = 1 N a i y ( n − i ) n ≥ M y(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i) \ \ \ \ \ \ \ n \geq M y(n)=i=0∑Mbix(n−i)−i=1∑Naiy(n−i) n≥M

1、B 向量元素 : x(n) 参数

讨论 B B B 向量 , B B B 向量是 x ( n ) x(n) x(n) 的参数 , 有几个 x ( n ) x(n) x(n) 项 , B B B 向量就有几个元素 ;

上式中 M = 0 M = 0 M=0 , x ( n ) x(n) x(n) 的项只有 1 1 1 项 , ∑ i = 0 M b i x ( n − i ) \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) ∑i=0Mbix(n−i) 只有一项 , 加和式只有一项 , 因此对应的 B B B 向量 , 只有 1 1 1 个元素 ;

2、A 向量元素 : y(n) 参数

下面讨论 A A A 向量 , A A A 向量是 y ( n ) y(n) y(n) 的参数 , 有几个 y ( n ) y(n) y(n) 项 , A A A 向量就有几个元素 ;

线性常系数差分方程 :

y ( n ) = 1.5 x ( n ) + 0.7 y ( n − 1 ) y(n) = 1.5x(n) + 0.7y(n-1) y(n)=1.5x(n)+0.7y(n−1)

将 0.7 y ( n − 1 ) 0.7y(n-1) 0.7y(n−1) 移到左边 , 得到 :

y ( n ) − 0.7 y ( n − 1 ) = 1.5 x ( n ) y(n) - 0.7y(n-1) = 1.5x(n) y(n)−0.7y(n−1)=1.5x(n)

这里有 2 2 2 个 y ( n ) y(n) y(n) 项 , A A A 向量的元素有两个 , 1 , − 0.7 1 , -0.7 1,−0.7 ;

3、输入序列

输入序列 :

x ( n ) = δ ( n ) x(n) = \delta (n) x(n)=δ(n)

输入序列的元素个数 , 等于输出序列的元素个数 ;

n = 0 n = 0 n=0 时 , x ( n ) = 1 x(n) = 1 x(n)=1 , 然后再次生成 30 30 30 个 0 0 0 元素 , 放到输入序列中 ;

输入序列为 { 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ⏟ 30 个 0 } \{ 1, \underbrace {0 , 0 , \cdots , 0}_{30 个 0} \} {1,30个0 0,0,⋯,0} , 共 31 31 31 个元素 ;

对应的 matlab 代码为

4、matlab 代码

matlab 代码 :