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概率论基础 - 14 - 指数分布

2022-08-05 14:30:00 【为为为什么】

本文记录指数分布。

简介

在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。

定义

  • 指数分布自变量x，其概率密度函数为：

  • 其中λ > 0[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X \sim E(λ)或Exp(\lambda)。
  • 累积概率密度函数：
P{X \leq x}=F(x)=1-e^{-\frac{x}{\theta}}, x>0

期望

方差

指数分布的来源

指数分布表示事件发生两次的间隔的概率分布，我们利用泊松分布的一些结论来推导

  • 事件单位时间发生的期望次数为\lambda，两次事件发生的时间间隔随机变量用Y表示
  • 那么两次事件发生的时间间隔大于t的概率等于时间t内没有发生事件的概率，而后者的概率可以用泊松分布刻画：
P(Y>t)=P(X=0, t)=\frac{(\lambda t)^{0}}{0 !} e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0
  • 进而有:
P(Y \leq t)=1-P(Y>t)=1-e^{-\lambda t}
  • Y 的累积分布函数:

  • 求导得到概率密度函数:

  • 至此得到了指数分布概率密度函数

无记忆性

  • 指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property, 又称遗失记忆性）
  • 这表示如果一个随机变量呈指数分布，当 s, t \geq 0 时有:
P(T>s+t \mid T>t)=P(T>s)

举例：如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少 s+t 小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

参考资料

原网站

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