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方程组解的情况与向量组相关性转化【线代碎碎念】

2022-08-08 15:59:00 【超级码力666】

自己写了些话，有关齐次方程组Ax=O/非齐次方程组Ax=β的解的情况与A矩阵列分块后的列向量组的相关性若干思考

判断(非)方阵A(如34矩阵)解的情况时，可A列分块，转化为判断分块后的列向量线性相关(对应齐次Ax=O)，或能否线性表示(对应非齐次Ax=β)的问题
Ax=O，A列分块后为α1，…αnAx=0是有唯一0解/有无穷多解的问题转化为 看使等式x1α1+x2α2+…+xnαn=0(记作)成立时x1 x2…xn是否必须全为0(即关于的α向量组的线性相关问题)若齐次方程组Ax=0有唯一0解即 使 式子* 成立时的xi只能取0，此时关于α的向量组线性无关若齐次方程组Ax=0有非零解即 使 式子* 成立时的xi可以取非0数，此时关于α的向量组线性相关对于非齐次方程组Ax=βA同样列分块为关于α的向量组Ax=β是否有解的问转化为β能否由关于α的向量组线性表示的问题(注意一个十分有用的结论【m个n维列向量一定线性相关(m＞n)】)列分块思想矩阵A34按列分块后，翻译为向量(组)语言4个3维列向量(理应迅速反应出，4个3维列向量必线性相关(又可反应出，对应齐次方程组有非0解，则有无穷多解))还要注意一点，当说矩阵A的秩为r时，要知道A列分块为关于α的向量组后，矩阵A的秩就是α向量组的极大无关组，即α向量组中最多线性无关的列向量个数为r

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