数据建模及MATLAB实现(一)

随着信息技术的发展和成熟，各行业积累的数据越来越多，因此需要通过数据建模的方法，从看似杂乱的海量数据中找到有用的信息。

云模型

云模型由我国李德毅院士首创，属于不确定性人工智能范畴，主要用于定性和定量之间的相互转换。

云模型的基本单元被称为“云”或者“云滴”。“云”是指其在论域上的一个分布，可以用联合概率的形式$(x,\mu )$类比。

云模型通过三个数据来表示其特征：

• 期望：云滴在论域空间分布的期望，用Ex表示。
• 熵：不确定性程度，由离群程度和模糊程度共同决定，用En表示。
• 超熵：度量熵的不确定性，即熵的熵，用He表示

云有两种发生器：正向云发生器和逆向云发生器，
分别生成足够的云滴和计算云滴的云数字特征（$Ex,En,He$）。

正向云发生器的触发机制：

1. 生成以$En$为期望，以$H{e}^2$为方差的正态随机数$E{n}^{{}^{\prime }}$。
2. 生成以$Ex$为期望，以$E{n}^{{}^{\prime }2}$为方差的正态随机数$x$。
3. 计算隶属度也就是确定度$\mu =exp(-\frac{(x-Ex{)}^2}{2E{n}^{{}^{\prime }2}})$,则$(x,\mu )$便是相对于论域$U$的一个云滴。

逆向云发生器的触发机制：

1. 计算样本均值$\overline{X}$和方差$S^2$。
2. $Ex=\overline{X}$
3. $En=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\times \frac{1}{n}\Sigma |x-Ex|$
4. $He=\sqrt{S^2-E{n}^2}$

云模型的MATLAB程序设计

云模型生成程序 cloud_model.m 如下

function [x,y,Ex,En,He]=cloud_model(y,n)
Ex=mean(y);
En=mean(abs(y-Ex))*sqrt(pi/2);
He=sqrt(var(y)-En^2);%var()返回方差值
for q = 1:n
    Enn=randn(1)*He+En;%生成方差为He^2,期望为En的正态随机数
    x(q)=randn(1)*Enn+Ex;
    y(q)=exp(-(x(q)-Ex)^2/(2*Enn^2));
end

云模型图像显示程序 DrawCloud.m 如下

function DrawCloud(Y,n)
[x,y,Ex,En,He] = cloud_model(Y,n);
plot(x,y,'r.');
xlabel('X/单位');
ylabel('Y/单位');
disp(['Ex = ',num2str(Ex)]);
disp(['En = ',num2str(En)]);
disp(['He = ',num2str(He)]);

在评价时通过云模型的数字特征($Ex,En,He$)来比较判断

Logistic回归

在回归分析中，因变量$y$存在两种情况，当$y$是一个定量的变量时，这时就用regress函数进行回归分析；而当$y$是一个定性的变量时，就需要使用$Logistic$回归。

$Logistic$回归主要用于研究现象发生的概率$P$，比如股票的涨跌，公司成功或者失败的概率，以及概率与哪些因素相关。

$Logistic$回归的一般形式为：

$P(Y=1|x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_k)=\frac{exp({\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\cdot \cdot \cdot +{\beta }_k{x}_k)}{1+exp({\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\cdot \cdot \cdot +{\beta }_k{x}_k)}$

其中，${\beta }_0,{\beta }_1,\cdot \cdot \cdot ，{\beta }_k$为类似多元线性回归模型中的回归系数。对该式进行对数变换，可得：

$ln\frac{P}{1-P}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\cdot \cdot \cdot +{\beta }_k{x}_k$

就可以将$Logistic$回归问题转换为线性回归问题。
但在实际问题中，存在P的取值仅有0和1两个值，而导致了取对数后无意义的情况。因此定义一个单调连续的概率函数$\pi$,使得

$\pi =P(Y=1|x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_k)$

将$\pi$代入，此时的式子虽然形式相同，但$\pi$是连续函数，只要对原始数据进行合理映射，就可以用线性回归方法得到回归系数。

Logistic回归MATLAB程序设计

function [b,val]=Logistic(X,Y,XE)
n=size(Y,1);
Y1=zeros(sizeof(Y,1),1);
%% 将P映射为pi
for i=1:n
    if Y(i)==0
        Y1(i,1)=0.25;
    else
        Y1(i,1)=0.75;
    end
end
%% 多元线性回归
X1=ones(size(X,1),1);
X0=[X1,X];
Y0=log(Y1./(1-Y1));
b = regress(Y0,X0);
%% 模型验证
%带回原来的表达式进行计算