一、二维随机向量及其分布

• 随机向量：$X(e)$与$Y(e)$是样本空间$\Omega$上的两个随机变量，则$(X(e),Y(e))$称为$\Omega$上的随机向量，简记$(X,Y)$。
• 联合分布函数：$$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}.$$几何表示为：
  
• 分布函数$F(x,y)$基本性质：$$\begin{gathered} 1^{。}F(x,y)是变量x,y的不减函数，对于任意固定y， \\ 当x_1<x_2时，有F(x_1,y)\le F(x_2,y);固定x时同理; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} 2^{。}0\le F(x,y)\le 1,对于固定的y，有F(-\infty ,y)=0; \\ 对于固定的x，有F(x,-\infty )=0;F(-\infty ,+\infty )=0, \\ F(+\infty ,+\infty )=1.(可通过几何图形理解) \end{gathered}$$$$\begin{gathered} 3^{。}F(x,y)关于x和y是右连续的，即 \\ F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0). \end{gathered}$$
• 二维离散型随机变量：

1. 分布律：$P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,3,\dots$（也可用图表表示）
2. 分布函数：$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}=\sum _{x_i\le x}\sum _{y_j\le y}{p}_{ij}.$

• 二维连续型随机变量：

1. 分布函数：$$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv.$$其中$f(x,y)$是$(X,Y)$联合概率密度或概率密度。
2. 部分性质：$$1^{。}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1;$$$$\begin{gathered} 2^{。}若f(x,y)在(x,y)处连续，则有 \\ \frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y). \end{gathered}$$$$\begin{gathered} 3^{。}设G为xOy面上的一区域，随机点(X,Y)落入G中的概率为 \\ P\{(X,Y)\in G\}=\underset{G}{\iint }f(x,y)dxdy. \end{gathered}$$

• 均匀分布：密度函数为$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& \text{(x,y)∈G}\\ & \\ 0,& \text{其他}\end{array}$$其中$A$为区域$G$的面积，则$(X,Y)$服从均匀分布。
• 二维正态分布：密度函数为$$\begin{gathered} f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}exp\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]\}, \\ -\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty \end{gathered}$$其中${\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,-1<\rho <1$,则称$(X,Y)$为二维正态随机变量，记作$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$。
• 对于不同的$\rho$有不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却是一样的。

二、边缘分布

• 边缘分布函数：$$\begin{gathered} F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<+\infty \}=F(x,+\infty ) \\ {F}_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X<+\infty ,Y\le y\}=F(+\infty ,y) \end{gathered}$$其中$F(x,y)$为$(X,Y)$的联合分布函数。
• 二维离散型随机变量的边缘分布：

1. 边缘分布函数：$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,+\infty )=\sum _{x_i\le x}\sum _j{p}_{ij} \\ {F}_Y(y)=F(+\infty ,y)=\sum _i\sum _{y_j\le y}{p}_{ij} \end{gathered}$$
2. 边缘分布律：$$\begin{gathered} P\{X=x_i\}=\sum _j{p}_{ij},i=1,2,3,\dots \\ P\{Y=y_j\}=\sum _i{p}_{ij},j=1,2,3,\dots \end{gathered}$$

• 二维连续型随机变量的边缘分布：

1. 边缘分布函数：$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy]dx \\ {F}_Y(y)=F(+\infty ,y)={\int }_{-\infty }^y[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx]dy \end{gathered}$$
2. 边缘密度函数（边缘分布密度）：$$\begin{gathered} f_X(x)=\frac{d{F}_X(x)}{dx}={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy \\ {f}_Y(y)=\frac{d{F}_Y(y)}{dy}={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx. \end{gathered}$$

三、条件分布

• 二维离散型随机变量的条件分布律：$$P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}},i=1,2,3,\dots$$其中$j$固定，且$P\{Y=y_j\}>0$。同理有$$P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}},j=1,2,3,\dots$$
• 二维连续型随机变量的条件分布：

1. 条件分布函数：设对于任意固定的$\epsilon >0$，有$P\{y-\epsilon <Y\le y+\epsilon \}>0$，若极限$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }P\{X\le x|y-\epsilon <Y\le y+\epsilon \}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{P\{X\le x,y-\epsilon <Y\le y+\epsilon \}}{P\{y-\epsilon <Y\le y+\epsilon \}}$$存在，则该极限称为在$Y=y$的条件下$X$的条件分布函数，记作$P\{X\le x|Y=y\}$或$F_{X|Y}(x|y)$。条件分布函数也可表示为$$F_{X|Y}(x|y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$$其中$f_Y(y)$为$Y$的边缘密度函数。同理有$$F_{Y|X}(y|x)={\int }_{-\infty }^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv.$$
2. 条件分布密度：$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},f_{Y|X}(y|x)\frac{f(x,y)}{f_X(x)}.$$

四、随机变量的独立性

• 对任意$x,y$有$$P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}$$则称$X,Y$是相互独立的。
• 二维离散性随机变量：$X,Y$是相互独立的，则分布律为$$P\{X\le x_i,Y\le y_j\}=P\{X\le x_i\}P\{Y\le y_j\},i,j=1,2,3,\dots$$
• 二维连续型随机变量：$X,Y$是相互独立的，则所有$x,y$都是相互独立的，概率密度为$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y).$$

五、两个随机变量函数的分布

• 二维离散型随机变量函数的分布：根据两个随机变量的联合分布律可直接得出。
• 二维连续型随机变量函数的分布：

1. 求密度函数的一般方法：
   (1) 首先求出$Z=\phi (X,Y)$的分布函数$$\begin{gathered} F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{\phi (X,Y)\le z\} \\ =P\{(X,Y)\in G\}=\underset{G}{\iint }f(u,v)dudv \end{gathered}$$其中$f(x,y)$是$(X,Y)$的密度函数，$G=\{(x,y)|\phi (x,y)\le z\}$。
   (2) 其次利用分布函数和密度函数的关系，对分布函数求导，求出密度函数$f_Z(z)$。
2. $Z=X+Y$的分布：区域$G=\{(x,y)|x+y\le z\}$，则分布函数为$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{z-y}f(x,y)dx]dy$$固定$z,y$，令$x=u-y$，则有$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{z}f(u-y,y)du]dy={\int }_{-\infty }^z[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u-y,y)dy]du$$根据分布函数和密度函数的关系，得到密度函数$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy$$由于$X,Y$的对称性，可得$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx$$若$X,Y$相互独立，则有$$\begin{gathered} f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy \\ {f}_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx \end{gathered}$$上面两个公式记为卷积，记作$f_X\ast f_Y$，即$$f_X\ast f_Y={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$$
3. $Z=\frac{X}{Y}$的分布：区域$G=\{(x,y)|\frac{x}{y}\le z\}$，则分布函数为$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{zy}f(x,y)dx]dy$$令$u=y,v=x/y$，即$x=uv,y=u$，雅可比式$$J=\left|\begin{array}{cc}v& u\\ & \\ 1& 0\end{array}\right|=-u$$则有$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }du{\int }_{-\infty }^{z}f(uv,u)|J|dv={\int }_{-\infty }^z[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(uv,u)|u|du]dv$$根据分布函数和密度函数的关系，得到密度函数$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(zu,u)|u|du$$若$X,Y$相互独立，则有$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(zu)f_Y(u)|u|du$$

• $M=max\{X,Y\},N=min\{X,Y\}$的分布：设$X,Y$相互独立，$M,N$的分布函数分别为$F_M(z),F_N(z)$。由于$M\le z$相当于$X,Y\le z$，又$X,Y$相互独立，故有$$\begin{gathered} F_M(z)=P\{M\le z\}=P\{X\le z,Y\le z\} \\ =P\{X\le z\}P\{Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z). \end{gathered}$$同理有$$\begin{gathered} F_N(z)=P\{N\le z\}=1-P\{N>z\}=1-P\{X>z,Y>z\} \\ =1-P\{X>z\}P\{Y>z\}=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]. \end{gathered}$$推广到$n$个，即$M=max\{X_1,X_2,\dots X_n\},N=min\{X_1,X_2,\dots X_n\}$，$X_1,X_2,\dots X_n$相互独立且有相同的分布函数$F(x)$，则有$$\begin{gathered} F_M(z)=[F(z){]}^n \\ {F}_N(z)=1-[1-F(z){]}^n. \end{gathered}$$