概率论基础 - 12 - 拉普拉斯分布（Laplace分布）

本文记录拉普拉斯分布。

拉普拉斯分布

• 概率密度函数：

拉普拉斯分布的密度函数，可以看作是两个指数分布函数的概率密度“背靠背”拼接在一起。

• 期望：

• 方差:

拉普拉斯分布与正态分布

拉普拉斯分布的概率密度与正态分布看起来很像，但是会比正态分布更尖（集中）一些

标准拉普拉斯分布的0.99分位点是3.91，而标准正态分布是2.32，这说明，服从拉普拉斯分布的随机变量，出现极端大的值的概率，要远远大于正态分布。

拉普拉斯分布的一些性质

• 如果 X \sim \operatorname{Exp}(\lambda), Y \sim \operatorname{Exp}(\mu) , 那么 \lambda X-\mu Y \sim \operatorname{Laplace}(0,1)
• 如果 X, Y \sim U(0,1) , 那么 \ln \frac{X}{Y} \sim \operatorname{Laplace}(0,1)
• 如果 X_{i} \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b) , 那么 \frac{2}{b} \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\mu\right| \sim \chi^{2}(2 n)
• 如果 X, Y \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b) , 那么 \frac{|X-\mu|}{|Y-\mu|} \sim \mathrm{F}(2,2)

拉普拉斯分布的参数估计

• 拉普拉斯分布的样本中位数即为参数\mu的极大似然估计

参考资料

• http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/156234503