【图形学】08 3D坐标系的变换（一）

1、流程中图片的变换

  世界变换 -> 摄像机变换 ->投影变换 ->视口变换

2、摄像机变换

  对摄像机的描述，有三个三个向量就能定义一个摄像机的位置和摄像方位：

• Position $\vec{e}$
• gaze $\hat{g}$
• Up $\hat{t}$

$M_{view}=R_{view}{T}_{view}$（摄像机的变换可以给分解为旋转和平移两种变换）。

• 把整个世界都移动，让摄像机的位置处于原点；再对世界旋转，把摄像机的 gaze 对到 z轴上。但是，对于把 gaze 旋转到 z 轴，Up 旋转到 y 轴。这是一件很难的事情：所以，我们考虑求摄像机的旋转矩阵的逆矩阵，因为本身它的 基向量 就是 正交向量。所以它的逆向量就是 他的转置矩阵。

$$\begin{gathered} T_{view}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_e\\ 0& 1& 0& -y_e\\ 0& 0& 1& -z_e\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ {R}_{view}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{\hat{g}\times \hat{t}}& x_t& x_{-g}& -x_e\\ y_{\hat{g}\times \hat{t}}& y_t& y_{-g}& -y_e\\ z_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_t& z_{-g}& -z_e\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

3、投影变换

  对于摄像机的视野，我们有两种投影方式，一个是正交投影（Orthographic Projection），另一个是透视投影（Perspective Projection）。我们使用的是后者，投影的视野形状是一个**视椎体**（Frustum），这样就能有一个近大远小的视觉效果。

①正交投影

  要做的操作比较简单：首先平移到原点，然后将整个投影的视野缩放到一个小立方体里。

②透视投影

  我们是把整个的 视椎体 挤压成半个立方体，计算的到 视椎体 中到立方体中的映射。而《GAMES101》保持近截面不变，远截面挤压成 近截面 的大小 ，让 视野 挤压成一个立方体。然后剩下的做法就和 正交投影一样的了。

其中，视椎体中任意坐标的 x，y 值都很容易用 相似三角形 来获得

然后，我们在齐次坐标系中，四个数都同时乘以一个数，实际上整个坐标都没有改变。

根据我们投影的向量的变化，我们能够反推出这个变换矩阵的部分的数值，留下第三行还暂时不能确定。

我们又利用这个挤压变换过程两个性质：任何在近截面点的 z 值不会变化；任何在远截面的点的 z 值不会变换。

带入近截面的点（其坐标 z值 一定是 n）：

带入远截面的点（其坐标 z值 一定是 f）：

这样，我们的两个方程，就能求到 $M_{persp->ortho}$ 这个变换矩阵的所有项了。之后就再做正交投影就行了。