【数学建模】Topsis优劣解距离法

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评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称TOPSIS法）等。目前国内外综合评价方法有数十种之多，其中主要使用的评价方法有主成分分析法、因子分析法、TOPSIS法、秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析法、模糊评价法、物元分析法、聚类分析法、价值工程法、神经网络法等。

TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)
是一种常用的组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。基本过程为基于归一化后的原始数据矩阵，采用余弦法找出有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。

层次分析法的局限性，如：决策因素不能太多，数据已知的情况下不容易用数据进行准确的说明。

那么TOPSIS法就是利用数据进行说明，而且也对决策因素没有限制。

建模步骤

topsis进行建模，大致分为以下四个步骤：
1、将原始矩阵正向化
2、将正向化矩阵标准化
3、计算得分并归一化

第一步：将原始矩阵正向化

在生活中，常见的指标有四种：

  那么，在 TOPSIS 方法中，就是要将所有指标进行统一正向化，即统一转化为极大型指标。 那么就需要极小型、中间型以及区间型的指标进行转化为极大型指标。

第二步：正向化矩阵标准化

标准化的目的就是消除不同量纲的影响。

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：

那么对其标准化后的矩阵记为Z，Z的每一个元素：

注意：标准化的方法不唯一，但目的都是为了去量纲。

那么对题目中的矩阵进行处理：

第三步：计算得分并归一化