论文阅读《Integrity Monitoring Techniques for Vision Navigation Systems》——4视觉系统中的多故障

在3.7节中总结的[16-18]研究将使用奇偶空间和斜率的GPS完好性监测技术转换为视觉测量，并提供了一个两种导航系统通用的框架。然而，对GPS所做的假设并不适用于视觉系统。在GPS系统中，不太可能同时出现不止一个故障的测量结果。GPS星座受到严密地监控，而且很鲁棒。在视觉测量的情况下，有一个以上的不良测量的可能性要高得多。之前的研究没有解决这种可能性。第4.1节总结了上一节讨论的统计检验量，该统计检验量的设计目的是检测不好的测量。然后，在第4.2节中使用该方法作为测试，以确定数据子集是否良好，并使用迭代方法来排除数据中的不良测量。

4.1 统计检验量

在[16-18]中，Larson采用了GPS完好性监测中的斜率法，其中决策变量$D=p^{T}p$与水平位置误差的关系是水平位置误差的向量范数的平方与奇偶向量范数的平方的比值：
$$\frac{||\delta x|{|}^2}{||p|{|}^2}=\frac{\delta x^T\delta x}{p^{T}p}=\frac{b^{T}Gb}{b^{T}Sb}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$
其中$G={\bar{H}}_h^T{\bar{H}}_h$，$S=P^{T}P$，$\bar{H}=(H^{T}H{)}^{-1}{H}^T$，它是矩阵$H$的Moore-Penrose伪逆。假设除$b_i$和$b_j$分量外，偏差向量$b$为0（对应于一组像素坐标中的一个偏差，其误差大小和方向为$\theta$），公式（3.1）可以写成（详细推导见[16]）：
$$\frac{||\delta x|{|}^2}{||p|{|}^2}=[\frac{si{n}^2(\theta )(G_{ii}-G_{jj})+sin(2\theta )G_{ij}+G_{jj}}{si{n}^2(\theta )(S_{ii}-S_{jj})+sin(2\theta )S_{ij}+S_{jj}}{]}^{\frac{1}{2}}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

4.2 分离故障测量的贝叶斯算法

分离故障测量的算法基于公式（3.3）给出的贝叶斯定理，并在许多关于概率和统计的书籍中讨论过。
$$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{{\sum }_{j=1}^{\infty }P(B|A_j)P(A_j)}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$
当整个测量数据集未能通过4.1节所述的测试时，假定该测量数据集中至少有一个故障的测量，且每个测量数据出现故障的可能性相等。因此，向量$\vec{P}$的所有元素表示每次测量的误差概率，初始化为$1/m$，其中$m$为测量次数。

从原始数据集创建并测试多个随机数据子集。如果通过，则使用公式（3.5）更新子集中与测量值相关的$\vec{P}$的对应元素。如果失败，则使用公式（3.4）更新$\vec{P}$中对应的元素。在对测量值的不同子集组合进行几次测试后，如果有足够高的概率传递数据子集，$\vec{P}$会收敛。
P ⃗ { E r r o r = 1 ∣ A l a r m } ( k + 1 ) = P ˉ m d P ⃗ ( k ) ∑ ( P ˉ m d P ⃗ ( k ) ) + P f a P ˉ e (3.4) \vec{P}\{Error=1|Alarm\}(k+1)=\frac{\bar{P}_{md}\vec{P}(k)}{\sum(\bar{P}_{md}\vec{P}(k))+P_{fa}\bar{P}_e} \tag{3.4} P { Error=1∣Alarm}(k+1)=∑(Pˉmd​P (k))+Pfa​Pˉe​Pˉmd​P (k)​(3.4)
P ⃗ { E r r o r = 1 ∣ P a s s } ( k + 1 ) = P m d P ⃗ ( k ) ∑ ( P m d P ⃗ ( k ) ) + P ˉ m d P ˉ e (3.5) \vec{P}\{Error=1|Pass\}(k+1)=\frac{P_{md}\vec{P}(k)}{\sum(P_{md}\vec{P}(k))+\bar{P}_{md}\bar{P}_e} \tag{3.5} P { Error=1∣Pass}(k+1)=∑(Pmd​P (k))+Pˉmd​Pˉe​Pmd​P (k)​(3.5)
其中$P_{md}$是测试的漏警概率，$P_{fa}$是测试的虚警概率，$P_e$是在给定的子集$\vec{P}$中存在故障的概率，而${\bar{P}}_e$满足${\bar{P}}_e=1-P_e$。

获得通过的随机数据子集的概率基于给出的超几何分布，
$$P(X=x|N,M,n)=\frac{\left(\begin{array}{c}M\\ x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-M\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\text{\hspace{1em}(3.6)}$$
其中$N$表示总共的测量数目，$n$是测试子集的样本数，$M$是故障测量数目，$x$是一个子集中故障的数量。

假设只需要一个故障的测量就会导致测试失败，则通过子集的概率为：
$$P(GoodSet)=P(X=0|N,M,n)\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

$$=\frac{\left(\begin{array}{c}N-M\\ n\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

图4.1显示了通过测试的概率与故障测量的数量的关系图，假设一次进行5个测量。