2022数二真题

思路分析：

看到要证明积分不等式的问题，首先想到构造函数，那构造什么样的函数呢？题目要证明什么，我们就构造什么,本题我们就可以构造$F(x)=(x-a)f(\frac{a+x}{2})-{\int }_a^{x}f(t)dt$

证明：

必要性： 令$F(x)=(x-a)f(\frac{a+x}{2})-{\int }_a^{x}f(t)dt$ ，很明显F(a)=0,
$F^{\prime }(x)=f(\frac{a+x}{2})+\frac{1}{2}(x-a)f^{\prime }(\frac{a+x}{2})-f(x)$
$$=\frac{1}{2}(x-a)\acute{f}(\frac{a+x}{2})-[f(x)-f(\frac{a+x}{2})]$$$$=\frac{1}{2}(x-a)f^{\prime }(\frac{a+x}{2})-\frac{1}{2}(x-a)\acute{f(\xi )}$$,$\xi \in (\frac{a+x}{2},x)$$$=\frac{1}{2}(x-a)[\acute{f}(\frac{a+x}{2})-f^{\prime }(\xi ))]$$
因为$f^{\prime \prime }(x)>0,f^{\prime }(\frac{a+x}{2})-f^{\prime }(\xi )<0$,故而 $F^{\prime }(x)<0$, 所以$F(b)\le F(a)=0$,所以$F(b)=(b-a)f(\frac{a+b}{2})-{\int }_a^{b}f(t)dt\le 0,即f(\frac{a+b}{2})<\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)dt$

充分性：
$\forall x_0\in (-\infty ,+\infty )$,取$a=x_0-h,b=x_0+h$,其中$h>0$,那我们的式子$f(\frac{a+b}{2})\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)dt$就可以转化成$f(x_0)\le \frac{1}{2h}{\int }_{x_0-h}^{x_0+h}f(x)dx\iff \frac{{\int }_{x_0-h}^{x_0+h}f(x)dx-2hf(x_0)}{2h}\ge 0$,

为了证明题目中的$f^{\prime \prime }(x)\ge 0,$我们只能想到2种办法
①从导数的定义式上入手，想办法构造导数的定义式
②利用泰勒公式(因为泰勒公式里面还有一阶导和二阶导)
③洛必达法则（不停地分子分母洛下去，必定能出现高阶导数）
对于本题而言，我们已经引入了邻域$(x_0-h,x_0+h)$,因为要证明$f^{\prime \prime }(x)$,所以我们不妨假设a和b隔得非常非常近，即${\lim }_{h\to 0}$，对于这种求极限的情况，我们首先想到洛必达法则，故而对于式子$\frac{{\int }_{x_0-h}^{x_0+h}f(x)dx-2hf(x_0)}{2h}\ge 0$,我们可以想办法用洛必达法则解决，对于分子而言，必须要进行3次求导才能出现$f^{\prime \prime }(x)$二阶导，而分母却经不起3次求导，那怎么办呢，我们把分母的次幂加大到3阶$\frac{{\int }_{x_0-h}^{x_0+h}f(x)dx-2hf(x_0)}{2h^3}\ge 0$,然后上下求导
${\lim }_{h\to 0}\frac{{\int }_{x_0-h}^{x_0+h}f(x)dx-2hf(x_0)}{2h^3}$
$$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)-2f(x_0)}{6h^2}$$$$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x_0+h)+f^{\prime }(x_0-h)}{12h}$$$$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x_0+h)-f^{\prime \prime }(x_0-h)}{12}$$
当$h\to 0$时，分子就是$f^{\prime \prime }(x_0)+f^{\prime \prime }(x_0)=2f^{\prime \prime }(x_0)$
所以$$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x_0+h)+f^{\prime \prime }(x_0-h)}{12}=\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{6}$$
所以$\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{6}\ge 0$，由极限保号性，$f^{\prime \prime }(x_0)\ge 0$. 本题得证