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线性代数第一章-行列式

2022-04-23 05:44:00 【＃self-discipline＃】

1.二元线性方程组与二阶行列式的矩阵解法

2.三阶行列式的数值

3.全排列和对换

对于n个元素，规定一种标准次序（常规定从小到大排列），对于一个排列而言，当某一对元素的次序与标准规定不同，就构成一个逆序，一个排列中所有的逆序总数称为这个排列的逆序数。

$t=t_{1}+t_{2}+...+t_{n}$

4.对换

定理一：一个排列中的任意两个元素对换，排列逆序数奇偶性变化。

推论：奇（偶）排列对换成标准排列的对换次数就是奇（偶）数

5.n阶行列式：做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号,其中t为p1,p2,...,p3...关于自然数1，2，3...的这个排列的逆序数，得到行列式数值 $\sum (-1)^ta_{1p_{1}}a_{2p_{2}}...a_{np_{n}}$

6.行列式的性质

6.1行列式和它的转置行列式相等

6.2对换行列式的两行（列），行列式变号

6.2推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零

6.3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

6.3推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

6.4行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

6.5若行列式的某一行（列）的元素是多数之和，可拆分为多个行列式相加

6.6把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变

￥￥7行列式的化简

1通过知识点六的各规则可以将行列式简化成三角行列式，直接对角线元素相乘得到结果。

行列式化简特点

2用低阶行列式表示高阶行列式

概念：

余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元的余子式，记作 $M_{ij}$

代数余子式： $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和（往往可以简化行列式到一行或一列只有一个非零元再通过该定理降阶）

特殊行列式：范德蒙德行列式

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

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