当前位置：网站首页>常微分方程的幂级数解法

常微分方程的幂级数解法

2022-08-09 14:52:00 【Chandler_river】

柯西定理
- 对于一阶微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ .f(x,y)在区域内解析，也就是任取区域内一点（x0,y0）有 $f(x_0,y_0)=\sum_{i,j=0}^\infty a_{i,j}(x-x_0)^i(y-y_0)^j$ 。存在实数 $\rho$ 使得初值问题在领域 $\begin{vmatrix} x-x_0 \end{vmatrix}<\rho$ 内有唯一的解析解
幂级数解法
- 任何形如微分都可以转换成 $y^{''}+p(x)y'+q(x)y=0$ 的形式.除非A(x0)=0的一些特殊点.这可能会导致方程在x0附近没有解析解,成为微分方程的奇点
- 如果p(x)和q(x)在(x0-r,x0+r)可以展开为x-x0的幂级数,那么上述方程的解也可以在此区间表示为 $y=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(x-x_0)^n$ ,其中C0和C1为任意常数,后面的常数由它们确定.
例题:
- $y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$
- 令a_{-1}=0,比较系数可得递推公式 $a_{n-1}=(n+2)(n+1)a_{n+2}$
- $a_n=\left\{\begin{matrix} a_{3n+2}=0\\ a_{3n+1}=\frac{a_1}{\prod _{i=1}^n 3i(3i+1)}\\ a_{3n}=\frac{a_0}{\prod_{i=1}^n 3i(3i-1)} \end{matrix}\right.$
- $y=a_0\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{3n}}{\prod _{i=1}^n 3i(3i-1)}+a_1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+1}}{\prod_{i=1}^n 3i(3i+1)}$
勒让德方程
- 勒让德方程有两个奇点 $x=\pm1$ ,在 $\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}<1$ 有幂级数解 $y=\sum_{k=0}^\infty C_k x^k$
- 代入,求得通项
- 解:
勒让德多项式
- 勒让德方程的幂级数解可以表示为当时,y1(x),y2(x)一定有一个是n次多项式.n为偶数时是y1(x) n为奇数时是y2(x) 总之,一定可以统一几位一个多项式Pn(x).
  - $P_n(x)=-\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}$
- 勒让德多项式的性质
  - 性质一: $P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$ $(x-x_0)^2y''+(x-x_0)\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k y'+\sum_{k=0}^{\infty}b_k(x-x_0)^ky=0$
  - 性质二: $G(x,t)=(1-2xt+t^2)^{-\frac{1}{2}}$ .有级数展开式 $G(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)t^n$
  - 递推公式: $(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0$
  - 性质四:函数系Pn(x)是正交的 $\int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=\left\{\begin{matrix} 0,n\neq m\\ \frac{2}{2n+1},n=m \end{matrix}\right.$
广义幂级数解法
- 针对A(x)y''+B(x)y'+C(x)y=0的奇点的解决方案
  - $y=\sum_{k=0}^{\infty}C_k(x-x_0)^{k+\rho},C_0\neq 0$
  - 方程在内可表示为
  - 指标和指标方程