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复数与复数域

2022-08-09 14:52:00 【Chandler_river】

复数的性质
- 复数可表示为 $z=r(cos\theta+isin\theta)$
- 复数相乘时，模相乘，辐角相加。复数相除时，模相除，辐角相减
- 欧拉公式 $e^{i\theta}=isin\theta+cos\theta$ ,
区域
- 开集
  - 设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内每一个点都是内点，那么G称为开集。
- 区域
  - 平面点集D称为一个区域，如果D是开集且D是连通的
- 边界
  - D在复平面上，如果点P不属于D，但在P的任何邻域内都包含有D中的点，那么，这样的点称为D的边界点。D的边界点的全体称为D的边界，一般用L表示。
- 闭区域
  - 区域D和它的边界L一起构成闭区域
- 单连通域与复连通域
  - D为复平面上的一个区域，在其中作任一条简单的闭曲线，而曲线内部总属于D，则称D为单连通区域，否则为复连通区域
复变函数
- 一对一或者一对多
  - 单值函数
  - 多值函数
- 复变函数的极限
  - 就是极限。。物理系的嘛，不用这么细致。
  - 几何意义
  - 性质
    - 可加
    - 可乘
    - 可除（除数不为零）
- 复变函数的连续性
  - 函数在某点连续的定义
    - 设w=f（z）是在区域D中定义的单值函数，并且z0为D的内点，如果任给实数 $\varepsilon> 0$ ，存在实数 $\delta$ ， $\delta> 0$ ,当D内的z满足 $\begin{vmatrix} z-z0 \end{vmatrix}<\delta$ ,有 $\begin{vmatrix} f(z)-f(z0) \end{vmatrix}<\varepsilon$ ,即 $\lim_{z->z_0}f(z)=f(z0)$ ,函数连续
  - 连续函数
    - 就是定义域上都连续呗。。。物理系的嘛，不用这么细致。
- 导数
  - 复变函数可导的必要条件
    - C.R.条件
- 解析函数
  - 若w=f(z)在z0及其邻域上处处可导，则f(z)在z0解析；若w=f(z)在B上任意点可导，则f(z)在区域B解析
  - 解析函数的性质
    - 调和性
      - 解析函数的实部与虚部都是调和函数
      - $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0;\Delta v=v_{xx}+v_{yy}=0$
    - 正交性
      - 解析函数的实部与虚部梯度正交
  - 一些初等函数的定义和计算
    - 指数函数
      - 解析性
    - 对数函数
    - 幂函数
    - 三角函数与双曲函数
    - 反三角函数
  - 解析函数的性质
    - 若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则：u(x,y)=C1 v(x,y)=C2 是B上两组正交曲线簇
    - 某区域上的解析函数在该区域上有任意阶导数
- 积分
  - 路积分
  - 柯西定理
    - 如果f(z)在单连通闭区域B上解析，L为B的边界线，a为B内的任意一点，则
      - $f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint _L\frac{f(z)}{z-a}dz$
      - $f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint _L\frac{f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}d\xi$
    - 意义
      - 解析函数的可导性：一次可导，无限次可导
      - 解析函数的整体性：边界值完全决定内部值
    - 应用
      - 模数定理：f(z)在闭区域解析，|f(z)|在边界上取最大值
      - 刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数
- 级数
  - 幂级数展开
    - 复级数
      - 收敛性判别法
        比值法
        根值法
    - 幂级数和泰勒展开
      - 形式
        $s(z)=\sum_{k=0}a_k(z-b)^k$
      - 收敛域
      - 一致收敛性
      - 泰勒展开
        泰勒定理
        一个在圆|z-b|=R内解析的函数f(z)可以展开为幂级数
        该幂级数在圆|z-b|=R内收敛
        以b为中心的展开式是唯一的
        系数 $a_k=f^{(n)}(b)/n!$
        应用积分公式，也可为 $a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint _L \frac{f(\xi)}{(\xi - b)6{n+1}}d\xi$
    - 双边幂级数和洛朗展开
      - 负幂级数
      - 双边幂级数=正幂级数+负幂级数
      - 洛朗展开
        一个在环R1<|z-b|<R2内解析的函数f(z)可以展开为双边幂级数
        该幂级数在环内收敛
        同一环域中的洛朗展开式是唯一的
        洛朗系数
    - 孤立奇点
      - 奇点
        函数的非解析点
      - 孤立奇点
        定义
        存在解析领域的奇点
        判断
        只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点
- 留数定理
  - 留数的定义
    - 复函数f(z)在z=z0的领域围道积分的结果
    - 当z0为f(z)的解析点时，结果为零
    - 当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值
  - 计算
    - 一般情况下，孤立奇点的留数等于在该点领域洛朗展开的负一次项的系数
    - 极点情况
      - m阶极点的留数
        $f(b)=\lim_{z\rightarrow b}\frac{1}{(m-1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\begin{bmatrix} (z-b)^mf(z) \end{bmatrix}$
      - 单极点的留数
        $f(z_0)=\lim_{z\rightarrow b}\begin{bmatrix} (z-b)f(z) \end{bmatrix}$
  - 留数定理
    - 定理
      - 设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点外解析，在对应的闭区域上除孤立奇点外连续，则 $\oint _Lf(z)dz=2\pi i\sum^{n}_{j=1}Resf(z_j)$
复球面与无穷远点
- 复球面（复数球）
  - 复球面与复平面相切于原点
- 无穷远点
  - 模为无限大的复数
- 全平面与开平面
  - 开平面为不含无穷点的复平面