离散数学的学习记录

证明阿贝尔群的方法

只需要证明a*b=b*a即可

怎么得到？

判断生成元除了计算有没有更快的方法？

只能通过慢慢找，看a^n能否遍历所有元素，例如：    

3 *3=2  2*3=6 6*3=4 4*3=5 5*3=1 1*3=3

可知此时遍历所有元素，即[3]肯定是生成元

设最小正整数m的用处是什么？----- 目的是用来证明r=0

为什么r=0？----因为m已经最小，r不可能更小，因此r只能为0

以下两个题目没看懂：

此处（h2·k2）^(-1)应等于（h3·k3）

然后   （h1·h4) ·（k4·k3） = h5·k5

已经A是偶数阶的群，则除单位元外至少还有一个元素以自身为逆元

如果A是奇数阶的群，则单位元应为唯一的以自身为逆元的元素

这个地方是什么意思？

若（1000），（0100），（0010）来自于群G，则类似（1000） + C 则表示：

                      群C关于G中（1000），（0100），（0010）的左陪集

φ的逆怎么求解？

由题意，此处是复合运算且x为单位元，则有φ * φ^-1 = x, 设φ^-1 = cx+d, 通过复合运算有：

a(cx + d) + b = x, 合并同类项：c = 1 / a          d =  - b / a

则φ^-1 = 1/a x - b/a

怎么得到？

子群的计算： 在某群Z中，其中任意一个元素通过自己和自己运算，直至始终为一个固定的集合，则为子群

例如：<{[0]}>中：0 + 0 = 0，始终为0，则子群有<{[0]}>

<{[0],[2],[4]}>中：2+2 = 4；4+2=0 则子群有<{[0],[2],[4]}>

左陪集的计算：陪集的计算法则可理解为：群Z中的各个元素依次与子群作用所得到的集合

例如：{[0]}分别与Z中{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}做加法运算，即可得到如图所示结果

其余的计算方法同理

关于集合的描述是什么意思？

此题超纲，可以跳过

分别是什么意思？

满射：A到B可以是一对一，也可以是多对一，最终保证A全部映射

单射：A到B只能是一对一，最终保证A全部映射

双射：A到B，B到A互相映射，最终保证A,B均全部映射

满足封闭性——广群

满足封闭性+可结合性——半群

满足封闭性+可结合性+有单位元——独异点

满足封闭性+可结合性+有单位元+元素均可逆——群

从f（00）开始的计算过程是怎么得到的？

f(x) = x1^x2的运算应理解为 (x1 + x2) / 2 之后取余数 ,即（mod 2）是对f(x)的一个解释

x1 , x2是G中每个元素按位取的元素，比如，x = 01，则 x1 = 0 ; x2 = 1

因此，f(00) = (0 + 0) / 2 = 0  f(10) = ( 1 + 0) / 2 = 1  

什么时候可以把（-1）放进括号里面？

只要 f 这个映射关系为A到B的同态即可

这个运算是什么意思？

集合R中去掉{0}，之后由×运算组成的代数系统

完全没看懂是什么意思？（同余关系是什么意思？）

同余关系：依据PPT中，等价关系R（自己设定）确定之后，R中的元素如果关于A做运算之后，所得到的元素

仍然在R中，那么R就可以说为A的同余关系

此处只需要说明：取任意的a1，a2均能够得到Ai * Aj = Ak即可

入射是什么意思？

入射和单射的意思相同，即A到B只能是一对一，最终保证A全部映射

解：

①：从00000开始优先补1，当有重合时补0

②：从11111开始优先补0，当有重合时补1

③：

• 两个例子毫无联系
• 第二个例子通过或运算说明：