动态规划解决0/1背包问题

问题分析
动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
解决方案：
①确定子问题：定义一个函数v[i,j]表示的是前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
②建立子问题之间的关系：第一种是第i件物品没有装进去，第二种是第i件物品装进去了。当背包的剩余容量比该物品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，也就是v[i,j]=v[i-1,j];否则就是，第i件物品如果不放入，此时此时的价值与前i-1个的价值是一样的，也就是v[i,j]=v[i-1,j]，如果放进去，此时的价值为加上第i件物品的价值v[i,j]=V[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]，两者取最优解。
③确定边界条件：边界条件，不管是放入的物品为0，还是背包的容量为0，此时背包获得的最大价值都为0，即v[0,j]=0,v[i,0]=0。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>

int V[100][100];//定义一个函数V[i,j]，表示前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值

int max(int a,int b){
    
   if(a>=b)
       return a;
   else return b;
}

int KnapSack(int n,int weight[],int value[],int C){
    
    
	//填表,其中第一行和第一列全为0,即 V(i,0)=V(0,j)=0； 
	//边界条件，不管是放入的物品为0，还是背包的容量为0，此时背包获得的最大价值都为0 
    for(int i=0;i<=n;i++)
        V[i][0]=0;//i个物品放入容量为0的背包中，价值为0 
    for(int j=0;j<=C;j++)
        V[0][j]=0;//不放入物品 ，价值为0 
    //用到的矩阵部分V[n][C] ,下面输出中并不输出 第1行和第1列 
    
	printf("编号 重量 价值 ");  //菜单栏 1 
	for(int i=1;i<=C;i++)
		printf(" %2d ",i);
	printf("\n\n");
		    
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
		printf("%2d %2d %2d ",i,weight[i-1],value[i-1]);  //菜单栏 2 (weight与value都是从0开始存的，所以开始i=1时对应0的位置)
		
        for(int j=1;j<=C;j++){
    
            if(j<weight[i-1]){
      //包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的
				V[i][j]=V[i-1][j];
				printf("%2d ",V[i][j]);
			}
            else{
      //还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个
                V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);//v[i-1][j]，第i个物品不放入背包的价值；
				//V[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1] 第i个物品放入背包，加上现在的价值。 
				printf("%2d ",V[i][j]);
			}
		}
		printf("\n");
	}
	
        return V[n][C];
        
}

void Judge(int C,int n,int weight[]){
    	//判断哪些物品被选中 
    int j=C;
    int *state=(int *)malloc(n*sizeof(int));
    
    for(int i=n;i>=1;i--){
    
	    if(V[i][j]>V[i-1][j]){
      //如果装了就标记，然后减去相应容量 ，背包现在的价值大于前一项的价值 
				state[i]=1;
				j=j-weight[i-1];//减去相对应的容量 
	        }
	    else
	        state[i]=0;
    }
    printf("选中的物品是:");
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(state[i]==1)
        	printf("%d ",i);
    printf("\n");
}
 
int main(){
    

    int n;        //物品数量 
    int Capacity;//背包最大容量
    
    printf("请输入背包的最大容量:");
    scanf("%d",&Capacity);
    
    printf("输入物品数:");
    scanf("%d",&n);
    
    int *weight=(int *)malloc(n*sizeof(int));//物品的重量
    int *value=(int *)malloc(n*sizeof(int)); //物品的价值
    
    
    printf("请分别输入物品的重量:");
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&weight[i]);
 
    printf("请分别输入物品的价值:");
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&value[i]);
		
	
 
    int s=KnapSack(n,weight,value,Capacity);  //获得的最大价值
    
    Judge(Capacity,n,weight);  //判断那些物品被选择 
 
    printf("最大物品价值为: ");
    printf("%d\n",s);
   
    return 0;
}