MATLAB从入门到精通（二）

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专题二 MATLAB矩阵处理

2.1 特殊矩阵

一类是通用性的特殊矩阵，另一类是用于专门学科的特殊矩阵

• 通用的特殊矩阵

  • zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵
  • ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵
  • eye函数：产生对角线为1地矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。
  • rand函数：产生（0,1)区间均匀分布的随机矩阵
  • randn函数：n代表normal，正态分布的意思，产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵

  这几种函数的调用格式相似，以zero函数为例进行说明：

  • zeros(m)：产生m×m的零矩阵

  • zeros(m,n)：产生m行n列的零矩阵

  • zeros(size(A)):产生于矩阵同样大小的零矩阵

• 用于专门学科的特殊矩阵

  1. 魔法矩阵——Magic Square

     • n阶魔方阵由1，2，3，……n² 共n² 个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n各元素之和都相等
     • n阶魔方阵每行每列元素的和为（1+2+3+……+n²）/n=（n+n³)/2
     • MATLAB函数magic(n)只产生一个特定的魔方阵。

2. 范德蒙矩阵

   对于向量v=[v1，v2，……，vn]，范德蒙矩阵的一般形式为：

在MATLAB中，函数vander（V）生成以向量V为基础的范德蒙矩阵。

范德蒙矩阵常用在各种通信系统的纠错编码中，如Reed-Solomon编码即为范德蒙矩阵为基础。

3. 希尔伯特矩阵

n阶希尔伯特矩阵的一般形式为：

H(i,j)=1/(i+j-1)

在MATLAB中，生成n阶希尔伯特矩阵的函数是hilb（n）。

1. 伴随矩阵

   设多项式p（x）为anxⁿ+an-1x^n-1+……+a1x+a0，则多项式的伴随矩阵是：

p（x）称为矩阵A的特征多项式，方程p（x）=0的根称为A的特征值。

MATLAB中生成伴随矩阵的函数是compan（p），其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后。例如生成x³-2x²-5x+6的伴随矩阵：

2. 帕斯卡矩阵

   根据二项式定理，（x+y）ⁿ展开后的系数随着n的增大组成一个三角形表，这个三角形称为杨辉三角形。这里的三角形每行代表不同n时的二项式系数，把二项式系数依次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧的n行n列元素即为n阶帕斯卡矩阵。

帕斯卡矩阵的第一行和第一列元素都为1，其余位置的元素时该元素的左边元素与上面元素相加，即P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j)，且P(i,1)=1,P(1,j)=1。

2.2 矩阵变换

矩阵变化是指对一个矩阵进行运算，其结果还是一个矩阵。

• 对角阵

  对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。

  数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。

  单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

  1. 提取矩阵的对角线元素

     • diag（A）：提取矩阵A主对角线元素，产生了一个列向量。

     • diag（A,K）：提取矩阵A第K条对角线的元素，产生一个列向量。

       与主对角线平行，往上为第1，2，……n条，往下为第-1，-2，……-n条。

  2. 构造对角矩阵

     • diag（V）：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵。
     • diag（V,K）：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

• 三角阵

  1. 上三角阵

     矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵

     • triu（A）：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。

     • triu（A，k）：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。

2. 下三角阵

   对角线以上的元素全为零的矩阵

   在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。

• 矩阵的转置

  矩阵行列交换。

  • 转置运算符是小数点后面接单引号（.'）。

  • 共轭转置，其运算符是单引号（’），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。

如果矩阵的元素是实数，那么转置和共轭转置的结果是一样的。

• 矩阵的旋转

  • rot90(A,K)：将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可省略。

• 矩阵的翻转

  左右翻转将原矩阵的第一列和最后一列交换，第二列和倒数第二列交换，以此类推。

  • fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转。
  • flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。

• 矩阵求逆

  • 对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称AB互为对方的逆矩阵。
  • inv(A)：求方阵A的逆矩阵。

2.3 矩阵求值

矩阵求值是指对一个矩阵进行某种运算，其结果还是一个数值。

• 矩阵的行列式值

  • 把一个方阵看成一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值。
  • det(A)：求方阵A所对应的行列式值。

• 矩阵的秩

  • 矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩
  • rank(A)：求矩阵A的秩
  • 奇数阶魔方阵秩为n，即奇数阶魔方阵时满秩矩阵。
  • 一重偶数阶魔方阵秩为n/2+2（n是的倍数，但非4的倍数）
  • 双重偶数阶魔方阵秩均为3（劫数是4的倍数）

• 矩阵的迹

  • 等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
  • trace(A)：求矩阵A的迹

• 矩阵的范数

  • 用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

  • 向量的3种常用范数：

    • 向量1—范数：向量元素的绝对值之和
    • 向量2—范数：向量元素平方和的平方根
    • 向量—无穷大范数：所有向量元素绝对值中的最大值

  • MATLAB种求向量范数的函数为：

    • norm（V，1）：计算向量V的1—范数。
    • norm（V）或norm（V，2）：计算向量V的2—范数。
    • norm（V，inf）：计算向量V的无穷大—范数。

  • 矩阵的范数

    • 矩阵A的1—范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值
    • 矩阵A的2—范数：矩阵A的转置与矩阵A本身的乘积矩阵的最大特征值的平方根。
    • 矩阵A的无穷大—范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值

  • 求矩阵范数的函数：

    MATLAB提供了3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。

• 矩阵的条件数

  用于描述矩阵性能的参数。

  矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。

  条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之矩阵的性能越差。

  • cond(A,1)：计算A的1—范数下的条件数。
  • cond(A)或cond(A,2)：计算A的2—范数下的条件数。
  • cond(A,inf)：计算A的无穷—范数下的条件数。

2.4 矩阵的特征值与特征向量

矩阵特征值的数学定义

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)，x是对应特征值的一个特征向量。

求矩阵的特征值和特征向量

• E=eig（A）：求矩阵A的全部特征值，构成向量E

• [X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。

• 特征值之间的几何意义

  MATLAB提供了一个eigshow函数，可以演示单位圆上的向量x和Ax之间的关系。

2.5 稀疏矩阵

稀疏矩阵是指0元素的个数远远多于非0元素个数的矩阵。

• 矩阵的存储方式

  • 完全存储方式

    将矩阵的全部元素按列存储

  • 稀疏存储方式

    只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。

• 稀疏存储方式的产生

  • 完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

    • A=sparse（S）：将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A
    • S=full（A）：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S

  • 直接建立稀疏存储矩阵

    • sparse函数的其他调用格式：

      • sparse(m,n)：生成一个m×n的所有元素都是0的稀疏矩阵
      • sparse(u,v,S)：其中u、v、s是3个等长的向量。S是要建立的系数存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标。

    • 使用spconvert函数直接建立系数存储矩阵，其调用格式为：

      B=spconvert（A）

      A是一个m×3或m×4的矩阵，其每行表示一个非零元素，m是非零元素的个数。

      • A（i，1）表示第i个非零元素所在的行
      • A（i，2）表示第i个非零元素所在的列
      • A（i，3）表示第i个非零元素的实部
      • A（i，4）表示第i个非零元素的虚部

      若矩阵的全部元素都是实数，则无须第4列

  • 带状稀疏矩阵的稀疏存储

    稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵

    带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

    • [B,d]=spdigs(A)：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d
    • A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的系数存储矩阵A，其中m、n为原带状稀疏矩阵的行数和列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置。

  • 单位矩阵的稀疏存储

    单位矩阵：只有对角线元素为1，其他元素为0的矩阵。

    • speye(m,n)：返回一个m×n的稀疏存储单位矩阵