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线性代数学习笔记5-1：正交的向量/空间、正交补（行空间和零空间正交）

2022-08-07 04:26:00 【Insomnia_X】

向量的正交

向量 x \boldsymbol x x和向量 y \boldsymbol y y正交的定义：

  • 就是说它们的点积 / 内积为零： x ⋅ y = 0 \boldsymbol x\cdot\boldsymbol y=0 x⋅y=0
  • 也可以统一表示为向量乘法： x T y = 0 \boldsymbol x^T\boldsymbol y=0 xTy=0

向量的正交，可简单理解为两个向量在几何上垂直

  • 零向量与所有向量都正交

空间的正交

两个空间 U \mathbf U U和 V \mathbf V V正交的定义：空间 U \mathbf U U中的任意向量 u \boldsymbol u u与空间 V \mathbf V V中的任意向量 v \boldsymbol v v正交

注意，这里不能再理解为几何图形上的垂直
例如地面和墙面这两个平面，一定不是正交的，因为它们交界处的向量，同时属于两个空间，但点积肯定不为0
可见，两个空间 U \mathbf U U和 V \mathbf V V正交 ⇒ \Rightarrow ⇒交集 U ∩ V \mathbf U\cap\mathbf V U∩V不含非零向量

行空间和零空间正交（互为正交补）

空间正交的例子是，方程 A x = 0 \mathbf A \boldsymbol x=\boldsymbol 0 Ax=0，系数矩阵 A \mathbf A A的零空间和行空间正交
在这里插入图片描述
实际上， A \mathbf A A的行空间和零空间正交； A \mathbf A A的列空间和左零空间正交；

  • 并且，它们两两互为正交补 / 正交补集（Orthogonal Complement）
  • 例如行空间是零空间的正交补，即 C ( A T ) = ( N ( A ) ) ⊥ C(\mathbf A^T)=(N(\mathbf A))^\perp C(AT)=(N(A))⊥，这意味着，行空间含有所有与零空间正交的向量
  • “补”是指两个空间互不包含/交集为0，且两个子空间的并集构成了整个 R n \mathbf R^n Rn空间，两个子空间的维数 之和 为整个空间的维数 n n n
    行空间和零空间是 R n \mathbf R^n Rn空间中的正交补，这意味着这两个正交子空间的维数之和必为 n n n，即 R a n k ( C ( A T ) ) + R a n k ( N ( A ) ) = r + ( n − r ) = n Rank(C(\mathbf A^T))+Rank(N(\mathbf A))=r+(n-r)=n Rank(C(AT))+Rank(N(A))=r+(n−r)=n

对于三维空间，正交补直观的例子就是： X o Y XoY XoY平面和它的法向量，互为正交补

整个线性代数的学习逻辑：首先研究向量空间及其维数，然后研究正交性，最后研究基（也就是所谓的“正交基”）

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