树形dp——P1122 最大子树和

题目描述

小明对数学饱有兴趣，并且是个勤奋好学的学生，总是在课后留在教室向老师请教一些问题。一天他早晨骑车去上课，路上见到一个老伯正在修剪花花草草，顿时想到了一个有关修剪花卉的问题。于是当日课后，小明就向老师提出了这个问题：

一株奇怪的花卉，上面共连有N朵花，共有N-1条枝干将花儿连在一起，并且未修剪时每朵花都不是孤立的。每朵花都有一个“美丽指数”，该数越大说明这朵花越漂亮，也有“美丽指数”为负数的，说明这朵花看着都让人恶心。所谓“修剪”，意为：去掉其中的一条枝条，这样一株花就成了两株，扔掉其中一株。经过一系列“修剪“之后，还剩下最后一株花（也可能是一朵）。老师的任务就是：通过一系列“修剪”（也可以什么“修剪”都不进行），使剩下的那株（那朵）花卉上所有花朵的“美丽指数”之和最大。

老师想了一会儿，给出了正解。小明见问题被轻易攻破，相当不爽，于是又拿来问你。

输入格式

第一行一个整数N(1 ≤ N ≤ 16000)。表示原始的那株花卉上共N朵花。

第二行有N个整数，第I个整数表示第I朵花的美丽指数。

接下来N-1行每行两个整数a,b，表示存在一条连接第a朵花和第b朵花的枝条。

输出格式

一个数，表示一系列“修剪”之后所能得到的“美丽指数”之和的最大值。保证绝对值不超过2147483647。

输入输出样例

输入 

7
-1 -1 -1 1 1 1 0
1 4
2 5
3 6
4 7
5 7
6 7

输出 

3

说明/提示

【数据规模与约定】

对于60%的数据，有N≤1000≤1000；

对于100%的数据，有N≤16000≤16000。

 问题分析

 题意是要我们找到树上点权之和最大的一个连通分量，譬如满足样例的图中框起来的一块

我们用 f[i]记录 以i为根的子树中点权和最大的一棵子树（或只选根），a[i]是输入的点权。

因为这样做的话最后要从每个f[i]中找出最大的数作为答案输出，所以 选择哪个点为根对结果没有影响，毕竟 任一连通分量在任一时刻总是可以看成一棵以某个点为根的树。

那不妨设节点 1 为根，点 0 为它的父亲（图中没有标出点 0）。

接下来我们看看 f[i]如何计算。

根据定义，在走到点 u时，f[u]所表示的连通分量中必包含点 u ，所以把 f[u] 初始化为点 u 的点权 a[u]。

接下来，对于 uu 的每一棵子树，我们都可以选择剪枝或不剪枝。对于 u的一个儿子 v ，显然当 f[v] < 0 时就剪断 u-v这条枝，反之。

于是得出递推式：

f[u] = a[u] + (f[v] > 0 ? f[v] : 0)（v 为 u的儿子）。

 代码

// 第一行一个整数N(1 ≤ N ≤ 16000)N(1≤N≤16000)。表示原始的那株花卉上共N朵花。

// 第二行有N个整数，第I个整数表示第I朵花的美丽指数。

// 接下来N-1行每行两个整数a,b表示存在一条连接第a朵花和第b朵花的枝条。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 16002

using namespace std;

int v[MAXN];
vector<int> edges[MAXN];

int dp[MAXN];

void dfs(int u, int pa) {
    
    dp[u] = v[u];
    
    for(int i = 0; i < edges[u].size(); ++i) {
        
        int v = edges[u][i];
        if(v == pa) {
            continue;
        }
        dfs(v, u);
        if(dp[v]>0) {
            dp[u] += dp[v];
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int i= 1; i <= n; ++i) {
        cin>>v[i];
    }
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        int a, b;
        cin>>a>>b;
        edges[a].push_back(b);
        edges[b].push_back(a);
    }
    
    dfs(1, 0);
    int ans = INT_MIN;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}