普林斯顿概率论读本读书笔记

第七章

提醒

确保输入的每句话，每个公式自己都是理解的，如果不理解，但是又有必要写上去的，要注明。各个公式的上下标是一个很重要的东西，可以帮助我们理解公式，但是往往会忽略这些上下标的意义，所以一定要清楚一个公式每个字母的意思。文中下划线表示不理解，黄色表示重要，加粗表示定义。

7.1离散型随机变量：定义

**$\delta$代数：**由结果空间的全体子集构成的集合。

研究将一枚均匀硬币抛掷三次的实验，结果空间$\alpha$会出现八个可能的结果，对于这个结果空间$\alpha$我们可以定义一个从$\alpha$->实数集R的函数X（即每个$\alpha$中的元素对应一个实数），对于这个X我们可以有很多种定义，例如$\alpha$中正面出现的次数或者是反面出现的次数，或者第二次抛掷是否是正面，如果是正面就记为1，如果是反面就记为0，等等情况。我们希望通过这些较为简单的函数来构造更加复杂的函数，下面介绍离散型随机变量。

离散型随机变量：离散型随机变量就是定义在一个离散的结果空间$\alpha$上的实值函数，具体的说，我们为每个元素$\omega$属于$\alpha$，指定了一个实数X($\omega$)。这个实值函数不是唯一的，就像上面分析的那样，可以指定各种形式的实值函数，例如正面出现的次数，或者是反面出现的次数等。我想就是这个实值函数的不确定性才能使之称为随机变量。

7.2离散型随机变量：概率密度函数

**概率空间：**在结果空间$\alpha$中定义了概率函数。

概率密度函数：设X是一个随机变量，它定义在离散的结果空间$\alpha$上（$\alpha$是有限的或至多可数的），那么X的概率密度函数（常记作$f_X$）就是X取某个特定值的概率：
$$f_X(x)=Prob(\omega 属于\alpha :X(\omega )=x)$$
怎么理解呢？X是一个随机变量就是说，结果空间上的每个元素对应一个实数值，那么可能会有不同的元素对应同一个实数值的情况（例如第二次是否出现正面），我们算出这个实数值出现的次数，用这个次数除以结果空间元素个数就是这个实数值出现的概率。也就是概念中所说的，某个特定数值出现的概率。下标用X是说明这个概率密度函数是与随机变量X有关。

来看抛掷一枚硬币的例子，抛掷一枚硬币三次，计算出现正面次数的概率分布函数。即有$Prob(X=0)=1/8$ ,$Prob(X=1)=3/8$ , $Prob(X=2)=3/8$ ,$Prob(X=3)=1/8$ 。整理一下就是下面这个公式：
$$Prob(X=k)=$$
式子中的$X=k$，实际上是$X(\omega )=k,\omega shuyu$。公式就是随机变量X出现k次的概率。我们要注意这里的写法和定义中写法的区别。

当然这个只是研究了每次抛掷时正面和反面出现概率相等的情况，但是如果每次正面出现的概率变成$p$，反面出现的概率变成$1-p$，这时又会怎么样呢？

如果我们抛掷的不是硬币，是一枚骰子，骰子总共有六个面，这个时候情况又不一样了。如果骰子不止六个面呢？如果每个面出现的概率不一样呢？如果抛掷4次呢？所以我们没法找到一个通用的计算公式。幸运的是，在很多问题中，我们不需要知道每个结果的确切概率，只需要知道某个特定范围内结果的概率就行了。

7.3离散型随机变量：累计分布函数

累积分布函数（cumulative distribution function）是一个非常有用的工具，在其帮助下，我们能利用熟悉的随机变量来了解一个新的随机变量。这被称为累积分布函数法。