【2021】腾讯秋招技术岗编程 有效序列的数量

如果序列中数据都不重复，那么这个题目难度会小很多。本文介绍三种解法。

（1）暴力枚举法

暴力枚举子序列左右端点i和j，检查a[i+1]到a[j-1]间是否有比端点更小的值，复杂度O(N^3)。可得20分。

（2）RMQ优化

RMQ（Range Minimum/Maximum Query）可以看成是一种查找结构，能快速找到区间内极值，每次查找的复杂度是O(1)级别。这样可以把上述算法“检查a[i+1]到a[j-1]间是否有比端点更小的值”优化，整个算法复杂度O(N^2),可得70分。

介绍一种骗分技巧，出题人在出大数据的时候，例如上面100000级别数据，经常会出所有数据全部相同的数据点，或者是1,2,3,4.....100000这样的数据点。如果最后实在没有好方法，且时间充足，可编写代码针对这些特殊情况做处理。此方法不保证有效性！！！

（3）单调栈

经验之谈：如果枚举a[i]为序列次小值，找到数据a[i]左右两端第一个比他小得的问题，这是典型的单调栈问题。读者必须掌握单调栈基础用法才可以阅读下面解题思路。

此题目可以考虑枚举第i个元素，a[i]向左找到第一个比a[i]小的值a[k]，此时[k,i]区间一定满足条件，

那么是否能继续向左找更小呢？模拟后发现不可以，例如序列1 3 6 5 ，5向左找到3就可以停下来了，以5为次小的序列是（3，6， 5），（1,3,6,5）是不行的。当然也有可能i元素左侧没有比它小的，这样就找不到满足条件子序列。

问题转换为对于a[i]，左右两侧是否存在比它小的值。

如果序列中数据都不重复，按上述分析用单调栈双向各做一次，枚举i元素为次小时所有情况即可得到结果。如果数据有重复呢？

对于重复数据，比如1,3,1,4,1，第5个1为次小元素，左边能和它搭配有两个1，而单调栈处理时碰见满足条件的就会停止出栈操作。这样的话需要调整下栈结构，使其不要存储重复元素，但又能知道重复元素有多少个。方法很多，例如入栈元素用结构体，或者用计数器（map）记录栈中相同值元素个数（代码用map）。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,a[100005];
ll ans=0;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i];
    stack<int>st;
    map<int,int>mp;/**< mp计数器，用于记录栈中相同元素的个数，确保栈中元素一定递增，不会有相同值 */
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        while(st.size()&&a[st.top()]>a[i])
        {
            mp[a[st.top()]]=0;/**< 出栈计数器清零 */
            st.pop();
        }
        if(st.empty())
            st.push(i);
        else
        {
            if(a[i]>a[st.top()]) /**< 这个是计算a[i]为次小值，左边比a[i]大的都已经出栈了，栈顶比a[i]小 */
                ans++,st.push(i);
            else if(a[i]==a[st.top()])
            {/**< 处理栈顶和a[i]相同的情况，比如例如这种情况3 3 3 3，第4个3和左边的几个3都能搭配 */
                ans+=mp[a[st.top()]];/**< 注意这个时候不要进栈，后面会把栈顶值mp[a[i]]++ */
                if(st.size()>1)/**< 1 3 3 3 3，这时第4个3不但和左边3能搭配，还能和1搭配，判断下栈里还有没有比a[i]小的 */
                    ans++;
            }
        }
        mp[a[i]]++;
    }
    while(st.size())
        st.pop();
    for(i=n; i>=1; i--)/**< 反向就无需处理重复元素了 */
    {
        while(st.size()&&a[st.top()]>=a[i])
            st.pop();
        if(!st.empty())
            ans++;
        st.push(i);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

作者在现场写码时只正向一次单调栈就解决了。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,a[100005];
ll ans=0;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i];
    stack<int>st;
    map<int,ll>mp;/**< mp计数器，用于记录栈中相同元素的个数，确保栈中元素一定递增，不会有相同值 */
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        while(st.size()&&a[st.top()]>a[i])
        {/**< 下面这句话实际上是计算a[i]为最小值情况，因为凡是出栈元素，其值均大于a[i]
            为什么用mp，比如序列 3 3 3 3 1，此时栈里面只有一个3，但是mp[3]=4,而1和左边的4个3都能构成序列 */
            ans+=mp[a[st.top()]];
            mp[a[st.top()]]=0;/**< 出栈计数器清零 */
            st.pop();
        }
        if(st.empty())
            st.push(i);
        else
        {
            if(a[i]>a[st.top()]) /**< 这个是计算a[i]为次小值，左边比a[i]大的都已经出栈了，栈顶比a[i]小 */
                ans++,st.push(i);
            else if(a[i]==a[st.top()])
            {  /**< 处理栈顶和a[i]相同的情况，比如例如这种情况3 3 3 3，第4个3和左边的几个3都能搭配 */
                ans+=mp[a[st.top()]];/**< 注意这个时候不要进栈，后面会把栈顶值mp[a[i]]++ */
                if(st.size()>1)/**< 1 3 3 3 3，这时第4个3不但和左边3能搭配，还能和1搭配，判断下栈里还有没有比a[i]小的 */
                    ans++;
            }
        }
        mp[a[i]]++;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}