1956年高考数学

试卷综述

本套试卷有九个题目，考察范围还是跟1955年范围类似，重点考察的还是三角及三角函数相关方面的知识点，但是余弦定理考察的次数也太多了点，竟然有两道题目，解方程方面还是有两个题目，一个是考察判别式，一个是二元方程组，二元方程组的求解需要用到整体思想和因式分解，其实有些题目是可以作为初高衔接部分的内容。具体分布如下表：

有训练价值的题目

尝试自己做一下呗：

1．利用对数性质计算 .

4.一个三角形三边长分别为3尺，4尺及 尺，求这个三角形的最大角的度数

5.设 , 是方程 的两根，求证： =

8．有一个四棱柱，底面是菱形 ， = （如图） 求证：平面 垂直于底面

9．若三角形的三个角成等差数列，则其中有一个角一定是 ;若这样的三角形的三边又成等比数列，则三个角都是 ，试证明之

试卷正文

1．利用对数性质计算 .

【解题笔记】直接利用对数运算性质，可以得到一个完全平方式

• 类似问题

  • 1950年第19题 19.若 , ,则 =（ ）

A.0.5770
B.1.1038
C.6.1038
D.264.06
E.416.74

• 1951年第18题 已知 ,求 .
• 1953年第4题 求
• 1954年第2题 解：

2.设 是实数，求证方程 的两根必定都是实数

【解题笔记】验证二次方程判别式大于0即可

• 类似问题

  • 1951年第7题 若方程 的两根相等，则 =？
  • 1953年第2题 的两根相等，求k值

3.设 是 的边 的中点，过 作直线交 于 ，过 作直线平行于 交 于 . 求证: 的面积等于 的面积的一半

【解题笔记】画图，作辅助线

验证 的面积等于 即可

4.一个三角形三边长分别为3尺，4尺及 尺，求这个三角形的最大角的度数

【解题笔记】根据大边对大角，余弦定理找到最大角是 所对的角

• 类似问题

  • 1952年第23题 设三角形的边长为 ， ， ，其对角依次为 ， ， 求 , , , 问 三角为锐角或钝角？
  • 1955年第2题 等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦.

5.设 , 是方程 的两根，求证： =

【解题笔记】由根与系数的关系，可以知道

要证明的是弦的关系，可以考虑把弦转化为切，左右两边都同时除以 ，即去证明 即可，再利用两角和的正切公式。

• 类似问题

  • 1950年第11题 证明:

6．解方程组

【解题笔记】由 可以得到 ,将 看作一个整体，进行因式分解，得到 ,那么就可以知道 之间的关系，再代入另一个方程进行求解即可。

• 类似问题

  • 1953年第10题 10．解

7．设 为等边 外接圆的 上的一点，求证： = +

【解题笔记】根据题意画出图形如下：

根据 与 相似，得到 ;再根据 与 相似 得到 ，之后把两式相加即可

8．有一个四棱柱，底面是菱形 ， = （如图） 求证：平面 垂直于底面

【解题笔记】这里是要证明面面垂直，首先我们得要去找线面垂直，连接 交于点 ，连接 ,作图如下：

那么容易知道 ， 是等腰三角形，进而得出 ，那么就得到了 ，问题解决。

这是一道比较简单的证明面面垂直的问题，在作答的时候注意解答格式。

9．若三角形的三个角成等差数列，则其中有一个角一定是 ;若这样的三角形的三边又成等比数列，则三个角都是 ，试证明之

【解题笔记】三角形内角和定理及等差中项可以得知一个角是 ,第二问是在第一问的前提下进行的，直接利用余弦定理求解即可。这是本套试卷第二次用余弦定理了。