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【控制】动力学建模举例 --＞拉格朗日法

2022-08-08 14:23:00 【Zhao-Jichao】

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机械臂的动力学在机械臂的控制中具有十分重要的意义，建立机械臂的动力学模型，是描述控制系统的依据，也是设计控制器的前提。机械臂动力学建模的常用方法是拉格朗日法和牛顿-欧拉法。采用牛顿-欧拉法建立机械臂动力学模型时，要计算每个部分加速度，然后消去内作用力，牛顿-欧拉法是解决动力学问题的力平衡方法。但是，当机械臂变得复杂，此方法的计算也将变得复杂。拉格朗日法依据的是能量平衡原理，不需要对内作用力进行求解。对于多自由度复杂度高的机械臂，拉格朗日法比牛顿-欧拉法的求解更适用。

机械系统的动能 $E$ 和势能 $P$ 的差值为拉格朗日函数，则刚性关节机械臂的拉格朗日函数表达式为：
$\dot{q}) = E(q, \dot{q}) - P(q) \tag{1}$

其中 $\dot{q}$ 分别为关节位置和速度， $\dot{q})$ 为机械臂系统的动能， $P (q)$ 为机械臂系统的势能。

为了得到运动的动力学方程，可对式 (1) 进行求导，得
$\frac{\text{d}}{\text{dt}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = \tau$

其中 $\tau$ 为机械臂的驱动力矩。
对于机械臂
$\frac{\text{d}}{\text{dt}} \frac{\partial E}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial E}{\partial q} + \frac{\partial P}{\partial q} = \tau$