一、题目描述

二、算法

这道题实际上就是考察的Z 算法。

1、泛化问题描述

对于个长度为 $n$ 的字符串 $s$。定义函数 $z[i]$ 表示 $s$ 和 $s[i:n-1]$ 的最长公共前缀的长度。 给出计算
$z$ 的算法。 注：这里 $s[i:n-1]$ 包含 $s[i]$ 和 $s[n-1]$。

2、分析

与 KMP 类似，计算 $z[i]$ 时需要用到前面计算过程的经验。这个算法的核心在于：维护了 $[l,r]$ 区间，满足$$r=\underset{0\le k<i}{\max }k+z[k]-1\text{\hspace{1em}(1)}$$$$l+z[l]-1=r\text{\hspace{1em}(2)}$$
不难发现，$[l,r]$ 实际上是 $s$ 和 $s[l:n-1]$ 的最长公共前缀区间。因此，我们可以得到$$s[0:r-l]=s[l:r]\text{\hspace{1em}(3)}$$
当我们需要计算 $z[i]$ 时，需要分情况讨论：
（1）如果 $i\le r$，对 (3) 式的左右两端的起始区间同时加上 $i-l$ 可以得到$$s[i-l:r-l]=s[i:r]\text{\hspace{1em}(4)}$$
（a）若 $z[i-l]<r-i+1$，那么 $$s[i-l:i-l+z[i-l]-1]=s[i:i+z[i-l]-1]=s[0:z[i-l]-1]\text{\hspace{1em}(5)}$$$$s[i-l+z[i-l]]=s[i+z[i-l]]\ne s[z[i-l]]\text{\hspace{1em}(6)}$$
因此 $$z[i]=z[i-l]\text{\hspace{1em}(7)}$$
（b）若 $z[i-l]\ge r-i+1$，那么我们可以扩展 (4) 式 $$s[i-l:r-l]=s[i:r]=s[0:r-i]\text{\hspace{1em}(8)}$$
这时我们对后续字符进行暴力枚举： $$z[i]=r-i+1+(s[r:n-1]与s[r-i+1:n-1]的最长公共前缀区间长度)\text{\hspace{1em}(9)}$$
（2）如果 $i>r$，说明当前还没有访问过 $s[i]$，那么我们直接从 $s[i]$ 开始暴力求解即可。
需要注意，每次处理完，需要判断是否更新 $[l,r]$ 区间。

3、实现

vector<int> z_function(string s) {
    
    int sLength = s.length(), left = 0, right = 0;
    vector<int> z(sLength);
    for (int i = 1; i < sLength; ++i) {
    
        if (i <= right) {
    
            if (z[i - left] < right - i + 1) {
    
                z[i] = z[i - left];
            }
            else {
    
                z[i] = right - i + 1;

                while (i + z[i] < sLength && s[i + z[i]] == s[z[i]]) {
    
                    ++z[i];
                }
            }
        }
        else {
    
            z[i] = 0;

            while (i + z[i] < sLength && s[i + z[i]] == s[z[i]]) {
    
                ++z[i];
            }
        }

        if (i + z[i] - 1 > right) {
    
            left = i;
            right = i + z[i] - 1;
        }
    }

    return z;
}

不难发现，两个 else 分支可以合并。因此，代码可以化简为：

vector<int> z_function(string s) {
    
	int sLength= s.length(), left = 0, right = 0;
	vector<int> z(sLength);
	for (int i = 1; i < sLength; ++i) {
    
		if (i <= right && z[i - left] < right - i + 1) {
    
			z[i] = z[i - left];
		}
		else {
    
			z[i] = max(0, right - i + 1);

			while (i + z[i] < sLength && s[i + z[i]] == s[z[i]]) {
    
				++z[i];
			}
		}

		if (i + z[i] - 1 > right) {
    
			left = i;
			right = i + z[i] - 1;
		}
	}

	return z;
}

上述代码从 $i=1$ 开始计算 $z[i]$ 是因为 $i=0$ 对应的 $[l,r]$ 区间为 $[0,n-1]$，相当于暴力求解。

sumScores 的实现如下：

long long sumScores(string s) {
    
    auto z = z_function(s);
    return accumulate(z.begin(), z.end(), (long long)0) + s.length();
}