目录

第4章 使用量子门演化量子态

门

IBM QX通用门集

哈达玛门

泡利门（X, Y, Z）

相门(S)和π/8门(T) 

多量子比特门

练习和问题

 欢迎加入Qiskit交流群: 1064371332

第4章 使用量子门演化量子态

门

本章代码：https://github.com/PacktPublishing/Mastering-Quantum-Computing-with-IBM-QX/tree/master/Chapter04

此所谓“门”者，并非 door，而是 gate.一如量子比特是经典比特的量子版本，量子寄存器是经典寄存器的量子版本一样，量子门是经典逻辑门的量子版本。沿循我们在第三章的经典与量子间的类比思路，本章中也会以同样方式处理经典门和量子门。

在经典计算中，经典门在经典寄存器上运行以演化（Evolve）其状态，在量子计算中，量子门在量子寄存器上运行以演化量子状态。

对于 经典逻辑门，百度百科给出如下信息：

MC玩家可能对此更为熟悉，在游戏社区中被广泛应用于所谓的“红石电路”，将红石的亮与灭对应于1和0：

 前文已经说过，每一个量子态都可以有一个矢量去对应，更何况我们既已定义.故而很自然地可以想到，既然我们有向量来对应单量子态，那么象征着“变换”或“演化”的量子门，就可以对应于矩阵。但是，和第三章的推导一样，我们选取的数学工具必须保证变换结果也是一个量子态，意味着分量平方和仍应是1。为了进一步推导，我们需要联系Bloch球面，既然量子态都可以被描述成端点位于球面上的矢量，那么量子态间的变换也就可以被描述成幺正矩阵。在群论中，该类矩阵被归为SU(3)，其中S意味着变换前后，矢量模长不会改变，数学上表现为其行列式为1。

拓展知识：SU(2)，SO(3)群笔记 - luyi07 - 博客园 (cnblogs.com)

在二维平面中，很典型的例子是旋转矩阵:

例如对零态：

这种变换令人大为满意！所以我们大可以说，旋转群对于不同的角度可以代表一系列量子门。

正式介绍全部量子门前，我们还需要注意几点（其实都是线性代数中的规定）：

• 一系列门的作用顺序不能轻易改变，即交换律不一定成立，但是结合律却可以成立（联系矩阵的变换意义，尝试举出交换律不成立的例子）；
• 左矢是右矢的转置加共轭，故而在左边作用于右矢的量子门绝对不能在左边作用左矢，也就是说没有意义！

另，需知，上例中的量子门为单量子门，量子门之间也可以通过直积进行组合成为多量子门，当然相应作用的量子态也必须是多量子态。

IBM QX通用门集

接下来的介绍会十分单调乏味，希望读者诸君可以一边浏览代码定义，一边将其作用于不同量子态上，并用我们在第二章实现的绘图工具做出相应的布洛赫球面。 

哈达玛门

数学定义：；

几何意义：将初始量子比特绕x轴旋转180°，然后绕y轴旋转90°；

代码实现：

H=1./np.sqrt(2)*np.matrix('1 1;1 -1')

泡利门（X, Y, Z）

数学定义：

 几何意义：

• X门：将量子态绕X轴旋转180°；
• Y门：将量子态绕Y轴旋转180°；
• Z门：将量子态绕Z轴旋转180°；

代码实现：

X=np.matrix('0 1; 1 0')
Y=np.matrix([[0, -1j],[1j, 0]])
Z=np.matrix([[1,0],[0,-1]])

相门(S)和π/8门(T) 

几何意义：

• S门：将量子态绕z轴旋转90°；
• T门：将量子态绕z轴旋转45°（至于为什么是π/4弧度而不是π/8弧度，这和历史原因有关）； 

代码实现：

S=np.matrix([[1,0],[0,np.e**(j*np.pi/2.)]])
T=np.matrix([[1,0],[0, np.e**(j*np.pi/4.)]])

其dagger门或称匕首门，亦即其共轭加转置：

S_dagger = S.conjugate().transpose()
T_dagger = T.conjugate().transpose()

相应的几何意义和原先量子门大体一致：旋转角度相同，只是方向不一样。 

运行以下代码，体会各量子门几何意义：

plot_bloch(H*zero_qubit)
plot_bloch(H*one_qubit)

plot_bloch(X*zero_qubit)
plot_bloch(X*one_qubit)

plot_bloch(Y*zero_qubit)
plot_bloch(Y*one_qubit)

plot_bloch(Z*zero_qubit)
plot_bloch(Z*one_qubit)

plot_bloch(zero_qubit)
plot_bloch(S*zero_qubit)
plot_bloch(T*zero_qubit)
plot_bloch(T*T*zero_qubit)

多量子比特门

 本节重点介绍一种极其重要的多量子比特门：CNOT，其重要性就在于其能生成纠缠态。

稍加观察与思考，不难发现，第二个比特位的量子态变化与否实际上取决于第一个量子态是1还是0.所以，我们叫第一个量子比特为控制位（control， 但实质上是作用的条件），第二个量子比特为目标位（target，但实质上是作用的结果）。

那么好，现在让我们考虑一个正零双量子态：

现在将CNOT门作用于其上：

思考：为什么得到这样一个结果？

数学定义：

代码实现：

CNOT=np.matrix('1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 0 1; 0 0 1 0')

由于我们目前处理的是双量子态，继续用布洛赫球绘图不免有些不合适，故而需要一个新函数来检验我们的算法：

def measure_in_01_basis(state):
    from random import random
    n_qubits=int(log(state.shape[0],2))
    probabilities=[(coeff*coeff.conjugate()).real for coeff in state.flat]
    rand=random()
    for idx,state_desc in enumerate([''.join(map(str,state_desc)) 
                                     for state_desc in itertools.product([0, 1], repeat=n_qubits)]):
        if rand < sum(probabilities[0:(idx+1)]):
            return '|"%s">' % state_desc

def probability_table_in_01_basis(state,n_measurements=1000):
    from collections import Counter
    measured=[measure_in_01_basis(final_state) for i in range(n_measurements)]
    for s,c in Counter(measured).items():
        print(s,"{0:.0%}".format(c/n_measurements))

starting_state=create_quantum_state([plus_qubit,zero_qubit])
final_state=CNOT*starting_state
probability_table_in_01_basis(final_state)

 注意，代码逻辑中有一处是违背量子计算原则的，即重复测量了同一个量子态并假定它不会坍缩到某一经典状态。在实际操作中，我们需要提前制备大量相同量子态，并对其中每一个态进行逐个测量，最后得到结果。

原书上附加了额外的一个例子，即以第一个量子比特为目标位，第二个量子比特为控制位：

CNOT_control1_target0=np.kron(H,H)*CNOT*np.kron(H,H) 

除了思考这个例子，我还希望你能思考一下，对于n元多量子态，怎样才能任意指定控制位和目标位呢？ 进一步，相应量子门的矩阵如何写出？（提示，运用行或列对调的思想）

练习和问题

 欢迎加入Qiskit交流群: 1064371332