1. 伯努利分布

实验有两种结果，发生概率为$p$、$1-p$，如扔硬币。

$X$为离散变量， $X$ ~ $Bernoulli(p)$ ，$P(X=1)=p$

2. 二项分布

进行$n$次独立的伯努利实验，成功的次数。如扔n次硬币出现正面的次数，有放回摸球摸到黑球的次数。

与伯努利分布关系：伯努利分布的事件之和。

$X$~$Binomial(n,p)$

$P(X=x)=C_n^x{p}^x(1-p{)}^{n-x}$

3. 超几何分布

二项分布：有放回摸球摸到黑球的次数。
超几何分布：无放回摸球摸到黑球的次数。

N个球中有M个黑球，从中不放回摸n个球，其中黑球的个数。
$P(X=x)=\frac{C_M^x{C}_{N-M}^{n-x}}{C_N^n}$

4. 泊松分布

一定时间/空间内某事件发生的次数。如1小时内到来的顾客数、出生的婴儿数、一下午经过的汽车数、一页书的打印错误数。（可根据时间/空间细分，细分后的事件独立）

$P(N(t)=n)=(ut{)}^n{e}^{-ut}/n!={\lambda }^n{e}^{-\lambda }/n!$
（$u$为单位事件内事件的发生频率）

二项分布到泊松分布：
考虑一段时间内经过十字路口的车辆数为$n$的概率，如果将时间细分为若干小段$\Delta t$，可转化为二项分布：每个$\Delta t$内有两种可能 有车经过/无车经过，有车经过的概率是$p$。要想达到这种条件，需要无限细分，即$\Delta t$趋于0，此时$n$趋于无限大，$p$趋于无限小。

即当$n$趋于无限大，$p$趋于无限小时，二项分布近似于泊松分布。

$P(X=x)=C_n^x{p}^x(1-p{)}^{n-x}\approx {\lambda }^x{e}^{-\lambda }/x!$（其中$\lambda =np$）

5. 几何分布、负二项分布

几何分布：伯努利实验中，在第一次正面的次数

$P(X=x)=(1-p{)}^{x-1}p$

负二项分布：出现r次失败时，成功的次数

6. 指数分布

某件事发生前的等待时间。

$P(X=t)=\lambda e^{-\lambda t}$

指数分布与泊松分布：

$P(X<t)=1-P(N(t)=0)=1-e^{-\lambda t}$

指数分布与几何分布：
将时间T无限细分为n个时间段，把几何分布的 $p$ 替换为$\lambda T/n$，令$n$趋近于无穷。

和二项分布与几何分布之间的关系相呼应，泊松分布是“给定时间内事件发生了多少次”，指数分布则是“直到事件发生过了多少时间”。给定一个某段时间内发生次数遵循泊松分布的事件，那么事件间隔时间遵循参数λ相同的指数分布

参考文献

https://zhuanlan.zhihu.com/p/47609519