信息学奥赛一本通 1955：【11NOIP普及组】瑞士轮 | OpenJudge 4.1 4363:瑞士轮 | 洛谷 P1309 [NOIP2011 普及组] 瑞士轮

【题目链接】

ybt 1955：【11NOIP普及组】瑞士轮
OpenJudge 4.1 4363:瑞士轮
洛谷 P1309 [NOIP2011 普及组] 瑞士轮

【题目考点】

1. 归并排序

2. stl 排序相关函数

• stl:快速排序：
  sort(f1，l1，cmp);
  f1: stl容器起始迭代器，或数组第1个元素的指针。
  l1：stl容器末尾迭代器，或数组最后一个元素后一个位置的指针。
  cmp：比较函数
  bool cmp(a，b)
  参数a与b的类型必须是容器内元素的类型或数组中元素的类型。
  返回值为真，则元素a排在前面。返回值为假，则元素b排在前面。
• stl合并有序序列
  merge(f1, l1, f2, l2, r, cmp)
  f1, l1：容器1的起始与末尾迭代器，或数组1的第一个与最后一个元素后一个位置的指针。
  f2, l2：容器2的起始与末尾迭代器，或数组2的第一个与最后一个元素后一个位置的指针。
  r：存放结果的容器的起始迭代器，或存放结果的数组的第一个元素的指针
  cmp：比较函数
  bool cmp(a，b)
  参数a与b的类型必须是容器内元素的类型或数组中元素的类型。
  返回值为真，则元素a排在前面。返回值为假，则元素b排在前面。

【解题思路】

直接思路：每次用sort函数排序，排名相邻的选手比赛，修改分数后继续排序。该算法需要进行$r$次排序，每次排序的复杂度为$O(nlogn)$，题目中r能达到50，元素个数为题目中n的二倍，能达到$2\ast 10^5$，所以整体复杂度量级为$r\ast n\ast lo{g}_{2}n=50\ast 2\ast 10^5\ast lo{g}_2(2\ast 10^5)=10^7(lo{g}_{2}2+5lo{g}_{2}10)\le 10^7(lo{g}_{2}2+5lo{g}_{2}16)=2.1\ast 10^8$，不出意外的话一定会超时的。因此这一直接的思路是不行的。

解法1：合并有序序列（归并）

第一次排序后，排名相邻的两选手之间比赛。胜方加1分，负方加0分。考察各选手得分的规律。
记$s_i$为第i名选手的分数，$s_{iw}$为第i名选手与第i+1名选手比赛中胜者的分数，$s_{il}$为败者的分数。
按分数排序后，取任意两组要进行比赛的选手，第$i$名与第$i+1$名比赛，第$j$名与第$j+1$名比赛，且$i+1<j$，那么一定有：$s_i\ge s_{i+1}\ge s_j\ge s_{j+1}$
现在第$i$名与第$i+1$名进行比赛

• 如果第$i$名选手获胜，则$s_{iw}=s_i+1，s_{il}=s_{i+1}$。
• 如果第$i+1$名选手获胜，则$s_{iw}=s_{i+1}+1，s_{il}=s_i$

第$j$名与第$j+1$名进行比赛

• 如果第$j$名选手获胜，则$s_{jw}=s_j+1，s_{jl}=s_{j+1}$。
• 如果第$j+1$名选手获胜，则$s_{jw}=s_{j+1}+1，s_{jl}=s_j$

可以看出，无论是何种情况，总是有$s_{iw}\ge s_{jw}$且$s_{il}\ge s_{jl}$
即，每次比赛后的获胜方的分数为降序序列，失败方的分数也是降序序列。
考虑到分数相等时比较编号，也会有相同的结论。
接下来就是将两个有序序列合并为一个有序序列的过程。
这一方法在归并排序中有使用，合并有序序列的复杂度为$O(n)$
具体写代码时：
写法1：可以将胜方与败方分别放入两个数组，而后合并有序序列。
写法2：数组下标奇数保存胜方，下标偶数保存败方。
使用该算法完成该题，需要循环r次，每次合并有序数组，复杂度为$O(r\ast n)$，$r\ast n=50\ast 2\ast 10^5=10^7$，可以通过。

【题解代码】

解法：合并有序序列（归并）

写法1：将胜方与败方分别放入两个数组，而后合并有序序列。

• 手写合并有序序列

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
struct Per//选手 
{
    
    int i, s, w;//i:编号 s:分数 w:实力 
}a[N], w[N], l[N];//a:所有数据 w:胜者组 l:败者组 
int n, r, q; 
bool cmp(Per a, Per b)
{
    
    if(a.s == b.s)
        return a.i < b.i;//分数相等 编号小的在前 
    else
        return a.s > b.s;//分数高的排在前 
}
void merge()//合并有序序列w与l 
{
    
    int i = 1, j = 1, ai = 1;
    while(i <= n && j <= n)
    {
    
        if(cmp(w[i], l[j]))//如果w[i]比l[j]优先 
            a[ai++] = w[i++];
        else
            a[ai++] = l[j++];
    }
    while(i <= n)
        a[ai++] = w[i++];
    while(j <= n)
        a[ai++] = l[j++];
}
int main()
{
    
    scanf("%d %d %d", &n, &r, &q);
    for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)
    {
    
        scanf("%d", &a[i].s);
        a[i].i = i;//设置编号 
    }
    for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)
        scanf("%d", &a[i].w);
    sort(a+1, a+1+2*n, cmp);
    while(r--)
    {
    
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
    
            if(a[2*i].w > a[2*i-1].w)//2*i与2*i-1进行一场比赛 
            {
    
                a[2*i].s++;
                w[i] = a[2*i];
                l[i] = a[2*i-1];
            }
            else
            {
    
                a[2*i-1].s++;
                w[i] = a[2*i-1];
                l[i] = a[2*i];
            }
        }
        merge();
    }
    printf("%d", a[q].i);
    return 0;
}

• 使用stl merge函数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
struct Per//选手 
{
    
    int i, s, w;//i:编号 s:分数 w:实力 
}a[N], w[N], l[N];//a:所有数据 w:胜者组 l:败者组 
int n, r, q; 
bool cmp(Per a, Per b)
{
    
    if(a.s == b.s)
        return a.i < b.i;//分数相等 编号小的在前 
    else
        return a.s > b.s;//分数高的排在前 
}
int main()
{
    
    scanf("%d %d %d", &n, &r, &q);
    for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)
    {
    
        scanf("%d", &a[i].s);
        a[i].i = i;//设置编号 
    }
    for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)
        scanf("%d", &a[i].w);
    sort(a+1, a+1+2*n, cmp);
    while(r--)
    {
    
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
    
            if(a[2*i].w > a[2*i-1].w)//2*i与2*i-1进行一场比赛 
            {
    
                a[2*i].s++;
                w[i] = a[2*i];
                l[i] = a[2*i-1];
            }
            else
            {
    
                a[2*i-1].s++;
                w[i] = a[2*i-1];
                l[i] = a[2*i];
            }
        }
        merge(w+1, w+1+n, l+1, l+1+n, a+1, cmp);//stl merge函数 合并有序序列 
    }
    printf("%d", a[q].i);
    return 0;
}

写法2：数组下标奇数保存胜方，下标偶数保存败方

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
struct Per//选手 
{
    
    int i, s, w;//i:编号 s:分数 w:实力 
}a[N], t[N];
int n, r, q; 
bool cmp(Per a, Per b)
{
    
    if(a.s == b.s)
        return a.i < b.i;//分数相等 编号小的在前 
    else
        return a.s > b.s;//分数高的排在前 
}
int main()
{
    
    scanf("%d %d %d", &n, &r, &q);
    for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)
    {
    
        scanf("%d", &a[i].s);
        a[i].i = i;//设置编号 
    }
    for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)
        scanf("%d", &a[i].w);
    sort(a+1, a+1+2*n, cmp);
    while(r--)
    {
    
        for(int i = 1; i < 2*n; i += 2)
        {
    
            if(a[i].w > a[i+1].w)//i与i+1进行一场比赛 
                a[i].s++;
            else
            {
    
                a[i+1].s++;
                swap(a[i], a[i+1]);//使胜者的下标为奇数 
            }
        }
        int i = 1, j = 2, ti = 1;
        while(i <= 2*n-1 && j <= 2*n)//合并下标为奇数的部分与下标为偶数的部分 
        {
    
            if(cmp(a[i], a[j]))
            {
    
                t[ti++] = a[i];
                i += 2;
            }
            else
            {
    
                t[ti++] = a[j];
                j += 2;
            }
        }
        while(i <= 2*n-1)
        {
    
            t[ti++] = a[i];
            i += 2;
        }
        while(j <= 2*n)
        {
    
            t[ti++] = a[j];
            j += 2;
        }
        for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)
            a[i] = t[i];
    }
    printf("%d", a[q].i);
    return 0;
}