题目解析

方法一 暴力递归求解

这种方法其实就是使用递归的思想来求解，将每个数看成是一颗二叉树的节点，当且仅当找到二叉树的叶子节点（两个初始值0和1）时才结束循环，也就是递归的终止条件。画图说明，如下：

可以看出计算第n个节点的斐波那契数，即需要计算出整个二叉树每个节点的值，时间复杂度为2的n次方，非常庞大，代码见下。

方法二 暴力递归的优化

暴力递归求解中的时间复杂度如何去降低呢？可以发现，暴力递归需要计算上图中的每个二叉数节点的值，但是其中有一些值的计算是可以去除的，就是说存在大量的节点值的计算是冗余的。不难看出，当计算根节点时，需要计算节点4和节点3的值，但是计算节点4的值又需要计算节点3和节点2的值，如果左子树的值计算完毕，那么右子树的值就不要再去递归求解了，因此只需要计算图中的最长一条路径左中的节点的值，根节点的值自然可以求出。如下图，只需要计算红色路径上的值即可：

依次思路，只需要计算n个斐波那契数，时间复杂度可降低为O(n);
但是如何去得到每个节点的值呢？需要使用一个数组，来保存每次计算的节点值，最多只有n个值，那么空间复杂度为O(n)。

方法三 双指针思想

虽然方法二中去重递归可以将时间复杂度降低为O(n), 但是空间复杂度也为O(n)，如何去降低这个空间复杂度呢？逐步求解某一个位置的元素值，并且是由某两个值来得到的，类似这种问题，都可以联想到双指针思想：
慢指针指向数组最左端，快指针指向数组下标为1的位置，逐步更新两个指针所指向的元素，直至遍历到第n个元素为止，即可得到第n个斐波那契数，此时的时间复杂度不变还是O(n)，而空间上只有两个指针，并没有使用额外的空间，因此空间复杂度为O(1)。

代码解析

1. 暴力递归

    public static int Fib1(int num) {
    
        if (num == 0) {
    
            return 0;
        }
        if (num == 1) {
    
            return 1;
        } else {
    
            return Fib1(num - 1) + Fib1(num - 2);
        }
    }

2. 去重递归

    public static int Fib2(int num) {
    
        int[] arr = new int[num + 1]; //初始化全为0的整型数组，用来保存每次计算得到的Fib数值，避免重复计算
        return resurse(arr, num);
    }

    private static int resurse(int[] arr, int nums) {
    
        if (nums == 0) {
    
            return 0;
        }
        if (nums == 1) {
    
            return 1;
        }
        if (arr[nums] != 0) {
     //如果该Fib数不为0表示之前已经计算过该值了，直接进行返回，对于第一次才计算的值才使用递归求解
            return arr[nums];
        }
        arr[nums] = resurse(arr, nums - 1) + resurse(arr, nums - 2);
        return arr[nums];
    }

注意：这里的arr数组初始化为全0的整数数组，因为后面当第一次计算某个斐波那契数时才需要进行递归求解，否则，当某个斐波那契数被计算得到了，此时已经存在数组arr的某个位置处，这个元素就不再是0了。当下一次再使用该值时，就不要再一次进行计算，直接返回该值即可。

3. 双指针求解

public static int Fib3(int num) {
    
        int low = 0, high = 1;
        if (num == 0) {
    
            return 0;
        }
        if (num == 1) {
    
            return 1;
        }
        for (int i = 2; i <= num; i++) {
    
            int sum = low + high;
            low = high;
            high = sum;
        }
        return high;
    }

定义两个指针：慢指针指向数组下标0，快指针指向数组下标1，同上设定两个default也就是两个斐波那契的初始值。从下标位置2开始循环，将上一次的元素进行加和得到当前的斐波那契数sum，更新两个指针：快指针所指向的值赋值给慢指针low，当前得到的斐波那契数sum赋值给快指针high，进行下一次求解，直至循环到第num个元素结束。最后直接返回快指针high即可，low指针保存的是上一个斐波那契数。