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Chapter2多元函数

2022-08-09 02:52:00 【桑之未落0208】

多元函数

偏导数

多元函数

$y=f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots, x_{n})$ ，其中 $(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})\epsilon \mathbb{R}^{n}$ ， $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\epsilon \mathbb{R}$

（1）两个点(z与x)之间的距离——勾股定理 $d^{'}=\left | z-x \right |=\sqrt{(x_{1}-z_{1})^{2}+(x_{2}-z_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-z_{n})^{2}}$

（2）极限与连续

$\forall \delta \epsilon \mathbb{R}^{+},\exists \varepsilon$ ，使得当 $\left | \overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_{0}} \right |< \varepsilon$ ，有 $\left | f(\overrightarrow{x})-A \right |< \delta$ ，则 $\lim_{\overrightarrow{x}\rightarrow\overrightarrow{x_{0}}}f(\overrightarrow{x})=A$ 。

若 $f(\overrightarrow{x_{0}})=\lim_{\overrightarrow{x}\rightarrow \overrightarrow{x_{0}}}f(x)=A$ ，则 f(x) 在 $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_{0}}$ 处连续。

举例： $f(x)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}$ ，令 y=kx ， $f(x,y)=\frac{kx^{3}}{x^{4}+k^{2}x^{2}}$

再令 $y=kx^{2}$ ， $f(x,y)=\frac{kx^{4}}{x^{4}+k^{2}x^{4}}=\frac{k}{1+k^{2}}$ ，在（0，0）处没有极限，也不连续。

偏导数

$y=f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots, x_{n})$ ，对 $x_{i}$ 求导，则让 $x_{1},x_{2}\cdots x_{i-1},x_{i+1},\cdots x_{n}$ 固定。

$\frac{\partial f(\overrightarrow{x_{0}})}{\partial x_{i}}=\lim_{x_{i}\rightarrow x_{i}^{0}}\frac{f(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots ,x_{i-1}^{0},x_{i},x_{i+1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})-f(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\cdots ,x_{i-1}^{0},x_{i}^{0},x_{i+1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})}{x_{i}-x_{i}^{0}}$

举例：3维函数求偏导。 $f(x,y,z)=\left\{\begin{matrix} 0 & ,xyz=0\\ 1 & ,xyz\neq 0 \end{matrix}\right.$ ，在 (1,1,1) 处分别对x,y,z求偏导，得 $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial z}=0$ 。

方向导数

f(x) 朝向某个方向 $\nu$ 上面的导数叫做方向导数。沿 $\nu$ 方向导数为： $\frac{\partial f(\overrightarrow{x_{0}})}{\partial \overrightarrow{\nu }}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(\overrightarrow{\nu }+t\overrightarrow{x_{0}})-f(\overrightarrow{x_{0}})}{t}$ 。

ps:即使存在方向导数，也未必存在偏导数。

举例： $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 不存在x,y方向上的偏导，但是存在方向导数。

可微

若 $\Delta f(\overrightarrow{x_{0}})=f(\overrightarrow{x_{0}}+\overrightarrow{\Delta x})-f(\overrightarrow{x_{0}})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}\Delta x_{i}+o(|\Delta \overrightarrow{x}|)$ ，则 f(x) 在 $\overrightarrow{x_{0}}$ 存在微分。

（1）可微分 $\Rightarrow$ $\overrightarrow{x_{0}}$ 连续；偏导存在，且等于 $A_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$

（2）偏导存在且连续 $\Rightarrow$ 可微

梯度

$\frac{\partial f(\overrightarrow{x_{0}})}{\partial \overrightarrow{\nu }}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(\overrightarrow{\nu }+t\overrightarrow{x_{0}})-f(\overrightarrow{x_{0}})}{t}$ $=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sum \frac{\partial f(x_{0})}{\partial x_{i}}tcos\theta _{i}+o(\left | t \right |)}{t}=\sum \frac{\partial f}{\partial x_{i}}cos\theta _{i}=(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial f}{\partial x_{2}},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_{n}})(cos\theta _{1},cos\theta _{2},\cdots ,cos\theta _{n})$

其中 $(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial f}{\partial x_{2}},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_{n}})$ 称为梯度（grad）。

梯度运算：grad(f+g)=gradf+gradg

grad(f*g)=f*gradg+gradf*g

Jacobi矩阵：一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。

链式法则

y=f(u(x)) ，则 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}$

对于多元函数 $f(u_{1}(x),u_{2}(x),u_{3}(x),\cdots u_{n}(x))$ 来说， $\Delta y=\Delta f=f^{'}\Delta u=f^{'}u^{'}\Delta x$

又 $\Delta y=\frac{\partial f}{\partial u_{1}}\Delta u_{1}+\frac{\partial f}{\partial u_{2}}\Delta u_{2}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial u_{n}}\Delta u_{n}$ ，式(1) $\Delta u_{1}=\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}\Delta x_{2}+\cdots +\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{n}}\Delta x_{n}$ ，……式(2)。

将式（2）代入式（1）得： $\Delta y=A_{1}\Delta x_{1}+A_{2}\Delta x_{2}+\cdots +A_{n}\Delta x_{n}$ ，其中 $A_{1}=\frac{\Delta y}{\Delta x_{1}}$ ……

Hessian矩阵

$f(\overrightarrow{x})=f(\overrightarrow{x_{0}})+(x-\overrightarrow{x_{0}})gradf(\overrightarrow{x_{0}})+\frac{1}{2}(x-\overrightarrow{x_{0}})H(x-\overrightarrow{x_{0}})^{T}$ ，其中H为矩阵 $\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial ^{2}x_{1}} &\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} \ & \frac{\partial^{2} f}{\partial ^{2}x_{2}} \end{pmatrix}$ ， $(x-\overrightarrow{x_{0}})=(x_{1}-x_{1}^{0},x_{2}-x_{2}^{0})$ ，(仅考虑两个变量)

第二项等于0（梯度为0），若H正定，则第三项大于0，所以 $f(\overrightarrow{x})> f(\overrightarrow{x_{0}})$ ，则 $f(\overrightarrow{x})$ 在 $\overrightarrow{x_{0}}$ 处取极小值，反之取极大值。

拉格朗日乘数法

求极值需要考虑grad和Hessian矩阵。

$\exists \overrightarrow{x _{0}},\overrightarrow{\lambda }$ ，当 $F=f+\lambda _{1}\varphi _{1}+\lambda _{2}\varphi _{2}+\cdots +\lambda _{n}\varphi _{n}$ ，有 $\frac{\partial F}{\partial x_{1}}=\frac{\partial F}{\partial x_{2}}=\cdots =\frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0$ ，那么grad=0，在 $\overrightarrow{x _{0}}$ 处存在极值。