图论入门——建图

背景：

本来以前学过的东西都懒得写了，不过小徒弟学图论好像碰到瓶颈了，就写一篇大致讲一下。

概念：

首先，我们要了解图的定义。
什么是图？
一张图$G$由两个集合组成的二元组，点集$V$和边集$E$。即$G=(V,E)$。

边就是连接点和点之间的关系，分成有向边和无向边两种。
无向图就是都是无向边的图。
有向图就是有向边组成的图。
具体题目中，边和点可能由权值，也就是点权和边权。

路径是一个点到另一个点经过的边的序列。
简单路径指没有经过重复边的路径。
环，也叫回路，指的是一个点经过一条简单路径回到自身。

度一个点连的边的数量。
出度一个点连的出边的数量。
入度一个点连的入边的数量。

重边是两条起点和终点相同的边。
自环是自己连到自己的边，理论上也叫环。
因为这两个东西的存在比较奇怪，有时候题目里会特意注明不存在重边和自环，如果没有的话就要小心了。

还有竞赛中常见的一种图有向无环图(Directed Acyclic Graph)，顾名思义，就是有方向的没有环的图（都是有向边，没有无向边）。俗称DAG。

再常见的一种图，树。题目太常见，这里入门就不介绍了。由多棵树组成的图叫森林，名字很形象了。

还有二分图，一个图是二分图有一个重要的等价条件是这个图没有奇环。（奇环：奇数个点构成的环）

还有一些会出到题目的高级图：弦图，基环树（基环内向树和基环外向树），仙人掌（圆方树）。

也许还有……

建图：

既然知道了图，我们需要学习怎么在代码中构建一张图。

那么构建一张图需要有什么操作呢。
$1.$加边：我们需要在图中添加一条边。
$2.$遍历一个点连接的边。

用数组把所有边存起来的办法就不说了。
这里介绍三种我常用的建图方式。

一、矩阵存图

就是用一个二维数组，行列都代表点，矩阵内的值表示边权。
那么解决上面两个问题，我们要添加一条边$(a,b)$，边权为$w$，那么就$tu[a][b]=w$。（这里不考虑重边）
如果是无向边，那其实就是添加两条有向边，$tu[a][b]=tu[b][a]=w$。

那么另一个问题，怎么去遍历一个点$x$连的边，其实就是第$x$行扫过去。

int tu[maxn][maxn];//图

memset(tu,0,sizeof(tu));//初始化图

tu[a][b]=w;//添加一条a到b的边权为w的有向边

tu[a][b]=tu[a][b]=w;//添加一条a到b的边权为w的无向边

//遍历点x连的边
for(int i=1;i<=n;i++)if(i!=x&&tu[x][i]!=0)
{
    
	printf("点x到点%d,边权为%d的边\n",i,tu[x][i]);
}

这样建图有两个缺陷。一是内存占用是$o(n^2)$，当点数为$10^5$的时候就开不下了。二是我们遍历一个点连的边复杂度是$o(n)$，但这个点连的边可能不足$n$，造成了浪费。
当然也是有好处的，比如删边和加边可以o(1)，也可以快速查找某两个点之间的边。

为了有时候对上面两个缺陷的需要，就有了后面两种建图的方式。

二、vector存图（邻接表存图）

数据结构课里的邻接表存图还是老老实实地写链表，这里只介绍竞赛里常用的。
大概介绍一下邻接表存图，我们对每一个点建一个点结点$[a]$，当我们要加一条有向边(a,b)的时候，就把它接在$[a]$的后面。（如果是无向边，那就$[a]$和$[b]$后面都接一个，即加入有向边(a,b)和(b,a)）

比如加入有向边$(a,b)$,$(a,c)$,$(a,d)$后，$[a]$的情况如下。
$[a]->(b)->(c)->(d)$
$()$内的表示边的信息，如果还有边权，就变成下面这样了。
$[a]->(b,wb)->(c,wc)->(d,wd)$
我们放到$vector$里面，就是 v [ a ] = { ( b , w b ) , ( c , w c ) , ( d , w d ) } v[a]=\{(b,wb),(c,wc),(d,wd)\} v[a]={ (b,wb),(c,wc),(d,wd)}。
或者不想写结构体，也可以用两个$vector$，
v [ a ] = { b , c , d } v[a]=\{b,c,d\} v[a]={ b,c,d}
g [ a ] = { w b , w c , w d } g[a]=\{wb,wc,wd\} g[a]={ wb,wc,wd}
上下一一出点和边权对应就行了。

//第一种写法，用结构体

struct E
{
    
	int to,w;
};
vector<E>v[maxn];//图

for(int i=0;i<maxn;i++)v[i].clear();//初始化图

v[a].push_back(E{
    b,w});//添加一条a到b的边权为w的有向边

//添加一条a到b的边权为w的无向边
v[a].push_back(E{
    b,w});
v[b].push_back(E{
    a,w});

//遍历点x的连的出边
for(int i=0;i<v[x].size();i++)
{
    
	int to=v[x][i].to,w=v[x][i].w;
	printf("点x到点%d,边权为%d的边\n",to,w);
}

//第二种写法，不用结构体

vector<int>v[maxn],g[maxn];//图

for(int i=0;i<maxn;i++)v[i].clear(),g[i].clear();//初始化图

v[a].push_back(b);//添加一条a到b的边权为w的有向边
g[a].push_back(w);

//添加一条a到b的边权为w的无向边
v[a].push_back(b);
g[a].push_back(w);
v[b].push_back(a);
g[b].push_back(w);

//遍历点x的连的出边
for(int i=0;i<v[x].size();i++)
{
    
	int to=v[x][i],w=g[x][i];
	printf("点x到点%d,边权为%d的边\n",to,w);
}

三、链式前向星

存图方式和前面的一样，都是接在后面。
不过这个是用链表实现，这个写的时候链表也不用指针，用下标索引实现。
具体理解看代码吧。

struct 
{
    
	int to,w,next;
}edge[maxm];
int head[maxn],tot;//图
void init()//初始化图
{
    
	tot=0;
	memset(head,-1,sizeof(head));
}
void addedge(int a,int b,int w)//添加一条a到b边权为w的有向边,无向边就正反各加一次
{
    
	edge[tot].to=b;
	edge[tot].w=w;
	edge[tot].next=head[a];
	head[a]=tot++;
}

//遍历点x的连的出边
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
{
    
	int to=edge[i].to,w=edge[i].w;
	printf("点x到点%d,边权为%d的边\n",to,w);
}

讲完了。