P1390 公约数的和（莫比乌斯反演）

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题意：

给定$n$，求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^{n}gcd(i,j)$。$(n<=2e6)$

推导：

第一步，按套路先把$gcd$提到前面来，

${\sum }_{g=1}^{n}g{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n[g=gcd(i,j)]$

第二步，我们令$f(g)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n[g=gcd(i,j)]$，此时我们要求的东西就是${\sum }_{g=1}^{n}gf(g)$，先放着。

然后这时候我们在莫比乌斯反演的公式中二选一，有经验之后就知道该选哪个了。
我们令，

$F(g)={\sum }_{g|d}f(d)$

$={\sum }_{g|d}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n[d=gcd(i,j)]$

$={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n[g|gcd(i,j)]$

$={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n[g|i\wedge g|j]$

$=\frac{1}{2}(\lfloor \frac{n}{g}\rfloor \lfloor \frac{n}{g}\rfloor -\lfloor \frac{n}{g}\rfloor )$

根据反演公式，有$f(g)={\sum }_{g|d}\mu (\frac{d}{g})F(d)$

所以我们最后代回原来要求的式子中，

${\sum }_{g=1}^{n}gf(g)={\sum }_g^n{\sum }_{g|d}\mu (\frac{d}{g})F(d)$

前面推过了，$F(d)$可以$o(1)$算，莫比乌斯函数可以预处理，所以最后的式子就可以$o(nlogn)$求出来了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
typedef pair<int,int> P;
const ll MAXN=2000000;

ll prime[MAXN+10],notPrime[MAXN+10],mu[MAXN+10],tot;
void initMu(ll n)
{
    
    notPrime[1]=mu[1]=1;
    for(ll i=2;i<=n;i++)
    {
    
        if(!notPrime[i])prime[tot++]=i,mu[i]=-1;
        for(ll j=0;j<tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
    
            notPrime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else {
    mu[i*prime[j]]=0;break;}
        }
    }
}

ll n;
ll getF(ll g)
{
    
    ll t=n/g;
    return (t*t-t)/2;
}

int main()
{
    
    initMu(MAXN);
    scanf("%lld",&n);
    ll ans=0;
    for(ll g=1;g<=n;g++)
    {
    
        for(ll d=g;d<=n;d+=g)
        {
    
            ans=ans+g*mu[d/g]*getF(d);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}