【概率论】一元概率分布的平均化

前段时间在做相关深入思考的时候，突然想到一个问题：如何将一个任意的概率分布，映射为一个平均分布？

在这里我们将逐步的讨论这个问题：

• 不详细讨论分布的数学条件上的要求

1.问题铺垫

设$R$为随机变量，$R\in [0,1]$，其概率密度函数为$P_r(r)。$现在我们要求一个映射$T$，使得随机变量$S$满足，$S=T(R)$，且$S\in [0,1]$，$S$为服从均匀分布的随机变量。

出于当时研究问题的背景需要，我们希望$T$是一个单调的函数，因为我们希望映射具备保序性（并且最好是可导的）。

2.求解过程

设随机变量S的取值$s_0=T(r_0)$,则
$$P(S\le s_0)=P(R\le r_0)$$
即概率分布函数
$$F_S(s_0)=F_r(r_0)$$
我们对r求导，则可得到：
$$\begin{array}{rl}{F}_s^{\prime }(s_0)& =P_s(s_0)\ast \frac{ds}{dr}{|}_{r0}\\ & =P_s(s_0)\ast T^{\prime }(r_0)\\ & =F_r^{\prime }(r_0)=P_r(r_0)\end{array}$$

由于$P_s(s)=1$，于是$T^{\prime }(r_0)=P_r(r_0)$，则
$$T(r)={\int }^r{P}_r(w)dw+C$$
若$T(r)$是单增函数，那么$T(0)=0,T(1)=1$；
又由于
$${\int }_0^1{P}_r(w)dw=1$$
我们可以求得
$$T(r)={\int }_0^r{P}_r(w)dw$$
很好的是，T是一个可导函数。不过如果$T$是单调递减的，似乎就求不出来，可能是在求导那里有点小差错？

• 仔细一想，这个结论总感觉非常熟悉，发现是在数字图像处理课程中的直方图均衡中学过了这个结论。

3.推广

设$R$为随机变量，$R\in [Min,Max]$，其概率密度函数为$P_r(r)。$现在我们要求一个单调递增映射$T$，使得随机变量$S$满足，$S=T(R)$，且$S\in [Min,Max]$，$S$为服从均匀分布的随机变量。

那么我们只需要设
$$T=\frac{1}{Max-Min}{\int }_{Min}^r{P}_r(w)dw+Min$$
即可满足条件。

• 类似的，我们还可以把s映射到任意的[a,b]区间上，使得s成为该区间上的均匀分布：
  $$T=\frac{1}{b-a}{\int }_{Min}^r{P}_r(w)dw+a$$