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线性代数学习笔记

2022-08-09 17:16:00 【sheeplittlecloud】

1.行列式

1.1 二阶和三阶行列式

对于一个二元一次方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{12}x_1+a_{22}x_2=b_2 \\ \end{cases} \]

当其有解时，解为

\[x_1= \frac{b_1 \,a_{22}-a_{12}\,b_2}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \qquad x_2= \frac{b_2\,a_{11}-a_{21}\,b_1}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \]

注意到分母是由等号左侧 4 个系数构成，我们把这四个数排成 2 行 2 列的形式：

\[a_{11} \quad a_{12} \\ a_{21} \quad a_{22} \]

表示式 \(a_{11} \, a_{22}-a_{12} \, a_{21}\) 称为上面形式所确定的二阶行列式，记作

\[\left | \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right | \]

数 \(a_{ij}\) 表示行列式内第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元。
所以二阶行列式便是 \(a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21}\)

三阶行列式定义类似
对于一个 9 个数排成 3 行 3 列的形式，记作

\[\left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \]

\(=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}+a_{12}\,a_{23}\,a_{31}+a_{13}\,a_{21}\,a_{32}-a_{13}\,a_{22}\,a_{31}-a_{12}\,a_{21}\,a_{33}-a_{11}\,a_{23}\,a_{32}\)
上述表明：三阶行列式含 6 项，每项均为不同行不同列的 3 个元素乘积再冠以正负号。
是不是非常简单？

1.2 \(n\) 阶行列式

回到 3 阶行列式上
\( \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \)
\(=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}+a_{12}\,a_{23}\,a_{31}+a_{13}\,a_{21}\,a_{32}-a_{13}\,a_{22}\,a_{31}-a_{12}\,a_{21}\,a_{33}-a_{11}\,a_{23}\,a_{32}\)
很容易看出，该式右边的每一项都是三个数的乘积，且这三个数都位于不同的行，不同的列。所以我们可以把每一项写成 \(a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,a_{3p_3}\) 。可以发现，这一项每个元素的行标都是 \(123\) ，列标都是 \(p_1p_2p_3\) ，即为 \(1,2,3\) 的排列，这种排列的种数 \(=P_3=6\)，对应该式共有 \(6\) 项。注意到每一项的正负性，我们发现，当列标排列是偶排列时，此项带正号，为奇排列时，带负号。又因为奇排列偶排列是以排列的逆序数为标准的，所以我们便可推出：
令 \(k=\) 该项排列的逆序数
\( \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \)\(=\sum_{i=1}^{P_3} (-1)^k\,a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,a_{3p_3}\)
推广到一般形式：
令 \(k=\) 该项排列的逆序数
对于行列式
\(D= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&... & a_{2n}\\ ~~&&......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn} \end{array} \right | \\ =\sum_{i=1}^{P_n} (-1)^k\,a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,...\,a_{np_n}\)
记作 \(\text{det}(a_{ij})\)。
该行列式从 \(a_{11}\) 到 \(a_{nn}\) 的连线称作主对角线。
主对角线以上（下）均为 \(0\) 的行列式称为下（上）三角行列式，主对角线上下均为 \(0\) 的行列式称作对角行列式。
这 \(2\) 种特殊的行列式 \(D，D´\) 均等于主对角线上各元素之积。

1.3 行列式的性质

记
\(D= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&... & a_{2n}\\ ~~&&......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn} \end{array} \right |\)

\(D´= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31}& ... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32}&... & a_{n2}\\ ~~&&......\\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} &...& a_{nn} \end{array} \right |\)

行列式 \(D´\) 称为 \(D\) 的转置行列式。
性质 \(1\)：\(\,\)行列式与它的转置行列式相等
性质 \(2\)：\(\,\)对换行列式的两行（列），行列式变号
记 \(r_i , c_i\) 为行列式的第 \(i\) 行，第 \(i\) 列，则对换第 \(i,j\) 行记作 \(r_ir_j\)，对换第 \(i,j\) 列记作 \(c_ic_j\)
性质 \(3\)：\(\,\)行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
性质 \(4\)：\(\,\)行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 \(0\)
性质 \(5\)：\(\,\)行列式的某行等于两数之和，等于这一行分开后的两个行列式之和。
性质 \(6\)：\(\,\)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。