整除的定义：

①若a|b，a|c，则a|(b±c)。

②若a|b，则对任意c(c≠0)，a|bc。

③对任意非零整数a，±a|a=±1。

④若a|b，b|a，则|a|=|b|。

⑤a|b,a|c⇔∀x,y∈Z ,a|(b×x+c×y)

⑥如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。

⑦若m≠0,则a|b⇔(m⋅a)|(m⋅b)若m≠0, 则a|b⇔(m·a)|(m·b)

⑧x,y∈Z,且∃a,b 使ax+by=1,a|n,b|n⇒(a⋅b)|nx,y∈Z, 且∃a,b使ax+by=1,a|n,b|n⇒(a·b)|n

能被2整除的数：个位上为2的倍数 
能被4整除的数：个位和十位所组成的两位数能被4整除 
能被8整除的数：百位、个位、十位所组成的三位数能被8整除（注意顺序） 
能被5整除的数：个位上为5的倍数 
能被25整除的数：十位和个位所组成的两位数能被25整除 
能被125整除的数：百位、十位、个位所组成的数能被125整除 
能被3整除的数：各个数位上的数字和能被3整除 
能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除 
能被11整除的数：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和的差的绝对值能被11整除 
能被7整除的数：把个位数字截去，得到一个新的数字，然后该数字减去原先的数字的个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，如果不好判断就递归处理 
能被13整除的数：把个位数字截去，得到一个新的数字，然后该数字加上原先的数的个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除 
能被17整除的数：把个位数字截去，得到一个新的数字，然后该数字减去原先的数字的个位数的5倍，如果和是17的倍数，则原数能被17整除，或把后三位截去，剩下的数与3倍后三位差的绝对值如果能被17整除，则原数能被17整除 
能被19整除的数：把个位数字截去，得到一个新的数字，然后该数字加上原先的数字的个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除，或把后三位截去，剩下的数与7倍后三位的差的绝对值如果能被19整除，则原数能被19整除