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考研线性代数常见概念、问题总结

2022-04-23 09:02:00 【zhou_pig】

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1.一个矩阵有很多特征值和特征向量，任意一个特征值λ和对应的特征向量，都满足Aα=λα！而不是之前傻乎乎的把所有λ和α组合起来，因为那样做是在正交变换。不要混淆了！
2.零向量不能说特征向量，看定义！α是非零列向量。此外，零向量对任何等式都成立，也没有意义了。
3.对角阵的特征向量是n重的，且特征向量是任意n阶非零列向量。
4.若存在矩阵C使得矩阵A合同于对角阵，则A必为对称矩阵。合同等式两边转置，对角阵转置等于本身即可证。
5.实对称矩阵，必相似对角阵，也合同于对角阵。
6.如果矩阵可以相似对角化，那么矩阵的秩＝非零特征值的个数。
证明：存在可逆矩阵P满足 P^-1AP = 对角矩阵。
r(A) = r(P^-1AP) = r(对角矩阵) = 非零特征值的个数。
7.矩阵等价的充要条件：同型矩阵且秩相等
8.可逆矩阵一定是方阵，否则最后怎么可能化成E？
9.对于r(AB)，如果A和B都是满秩n阶方阵，那么r(AB)也是n。
如果A是列满秩(对B做行变换)，那么结果＝r(B)。同理，如果B是行满秩，结果=R(A)。
10.一个矩阵，特征值唯一，特征向量不唯一。特征值唯一很好理解，因为特征多项式方程唯一，其解唯一。特征向量不唯一是因为同一个特征值λ的特征向量的非0线性组合仍然是λ的特征向量。平时解题找的都是基础解系，易错理解为特征向量唯一。

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