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压缩映射定理

2022-04-23 14:27:00 【patrickpdx】

定义

设 X X X 为距离空间， T : X → X T: X \rightarrow X T:X→X 是一映射，若存在 0 ≤ λ < 1 0\leq \lambda<1 0≤λ<1，使得
d ( T x , T y ) ≤ λ d ( x , y ) , ∀ x , y ∈ X d(Tx,Ty)\leq \lambda d(x,y), \quad \forall x,y\in X d(Tx,Ty)≤λd(x,y),∀x,y∈X
则称 T T T 是压缩的

引理

压缩映射是连续的

若 x n → x x_{n} \rightarrow x xn​→x，则： T x n → T x Tx_{n}\rightarrow Tx Txn​→Tx

证明：
d ( T x n , T x ) ≤ λ d ( x n , x ) → 0 d(Tx_{n}, Tx) \leq \lambda d(x_{n},x) \rightarrow 0 d(Txn​,Tx)≤λd(xn​,x)→0

压缩映射定理

完备距离空间上的压缩映射存在唯一的不动点

证明：

设 X X X 为任意完备距离空间， T T T 是 X X X 上的压缩映射. 任取 x 0 ∈ X x_{0} \in X x0​∈X，下面证明数列 { x n } \{x_{n}\} { xn​} :
x n = T x n − 1 x_{n} = T x_{n-1} xn​=Txn−1​
的极限 x = lim ⁡ n → ∞ x n x = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n} x=n→∞lim​xn​ 存在，且为不动点

(1) 首先证明 { x n } \{x_{n}\} { xn​} 是 Cauchy 序列：
d ( x n + 1 , x n ) = d ( T x n , T x n − 1 ) ≤ λ d ( x n , x n − 1 ) d(x_{n+1},x_{n}) = d(Tx_{n},Tx_{n-1})\leq \lambda d(x_{n},x_{n-1}) d(xn+1​,xn​)=d(Txn​,Txn−1​)≤λd(xn​,xn−1​)
进而
d ( x n + 1 , x n ) ≤ λ n d ( x 1 , x 0 ) d(x_{n+1},x_{n})\leq \lambda^{n}d(x_{1},x_{0}) d(xn+1​,xn​)≤λnd(x1​,x0​)
对于任何正整数 n n n 和 p p p ：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ d(x_{n+p},x_{n…
因此对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ∀ϵ>0， ∃ N \exists N ∃N，使得当 n > N n>N n>N 时，对 ∀ p \forall p ∀p 满足：
∣ d ( x n + p , x n ) ∣ ≤ ϵ |d(x_{n+p},x_{n})|\leq \epsilon ∣d(xn+p​,xn​)∣≤ϵ

(2) 因为空间 X X X 是完备的，因此 { x n } \{x_{n}\} { xn​} 收敛

(3) 进而 x = lim ⁡ n → ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ T x n − 1 = T lim ⁡ n → ∞ x n − 1 = T x x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} Tx_{n-1} = T \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n-1} = Tx x=n→∞lim​xn​=n→∞lim​Txn−1​=Tn→∞lim​xn−1​=Tx

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