【数学】点积与叉积

1. 向量的点积：向量点积是其各个分量乘积的和

几何意义：点积的结果是一个标量，等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

a•b = |a||b|cosθ
如果a和b都是单位向量，那么点积的结果就是其夹角的cos值。
a•b = cosθ

交换律：

分配律：

结合律： 其中m是实数。

2. 向量叉积：两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。它的运算结果是一个向量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。即c垂直于a，同时c垂直于b（a与c的夹角为90°，b与c的夹角为90°）

设

$$c=a\times b=(x1,y1,z1)\times (x2,y2,z2)=(y1\ast z2-y2\ast z1,z1\ast x2-z2\ast x1,x1\ast y2-x2\ast y1)$$

叉乘的几何意义： |c|=|a×b|=|a| |b|sinα （α为a，b向量之间的夹角）

叉乘的拓展：

在一般的常识或者教科书中规定叉乘只有3d才拥有，其实2d也可以拓展出来一个叉乘形式，而且非常有用。

拓展方式：假设有两个2d向量a,b，我们直接把他们视为3d向量，z轴补0，那么这个时候的a，b向量的叉乘结果c
$$\begin{gathered} c.x=0 \\ c.y=0 \\ c.z=a.x\ast b.y-b.x\ast a.y \end{gathered}$$
这个时候可以吧2d的叉乘值定义为得到一个值，而不是得到一个向量，那么这个值k
$$k=c.z=a.x\ast b.y-b.x\ast a.y$$
我们可以通过这个k值得到很多有用的性质

1.a，b向量构成的平行四边形的面积，即a,b向量组成三角形的有向面积的二倍。
2.如果k>0时，那么a正旋转到b的角度为<180°，如果k<0，那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a，b向量平行。（https://blog.csdn.net/weixin_39872717/article/details/77368234）

向量二重外积公式：$a\times (b\times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b)$。

参考文献

• https://blog.csdn.net/qq_38182397/article/details/80508303