李沐d2l(十)--卷积层Ⅰ

一、从全连接到卷积

1 全连接层

• 将输入和输出变形为矩阵(宽度，高度)
• 将权重变形为4-D张量(h,w)到(h’, w’)

• V是W的重新索引 v_i,j,a,b = w_i,j,i+a,j+b

2 平移不变性

由下面公式可知，x的平移会导致h的平移，但是我们希望当x变换时(也就是i和j变换)不应该影响到V，简单的说就是V不能依赖于(i,j)。

我们可以加一个限制让 v_i,j,a,b = v_a,b ，这样当i和j随便变换时也不会影响到v。

3 局部性

在评估h_i,j 时，我们不应该使用远离x_i，J 的参数。因此我们可以加一个限制：当|a|,|b| > Δ 时，使得v_a,b = 0

总结

对全连接层使用平移不变性和局部性就能得到卷积层

二、卷积层

1 二维交叉相关

2 二维卷积层

• 输入X: n_h x n_w
• 核W：k_h x k_w (就是Kernel)
• 偏差b∈R
• 输出Y：(n_h - k_h + 1) x (n_w - k_w + 1) （输出会变小是因为在做二维交叉相关时，比如从左为右移动到右边界，只含有元素2和5，这时就会被舍弃。）
• Y = X * W + b（这儿的*就是二维交叉相关）

3 比较

两者的区别在W中，a和b是相反数，这在实际使用中没有区别

总结

• 卷积层将输入和核矩阵进行交叉相关，加上偏移后得到输出
• 核矩阵和偏移是可学习的参数
• 核矩阵的大小是超参数

4 代码

定义

# 定义二维交叉函数
def corr2d(X, K):  
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()
    return Y

# 实现二维卷积层
class Conv2D(nn.Module):
  def __init__(self, kernel_size):
    super.__init__()
    self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
    self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))

  def forward(self, x):
    return corr2d(x, self.weight) + self.bias

例子：检测图片不同颜色的边缘

从结果可以看出第二列和倒数第二列的值都不为0，所有这里就是颜色不同的边缘

X = torch.ones((6,8))
X[:,2:6] = 0
K = torch.tensor([[1.0, -1.0]]) # 如果颜色相同结果是0，否则表示颜色不同
Y= corr2d(X, K)
print(Y)
''' tensor([[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.], [ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.], [ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.], [ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.], [ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.], [ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.]]) '''

由于我们输入的K是一维，所以只能检测垂直方向。

学习由X生成Y的卷积核

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(1, 2), bias=False)
X = torch.ones((6,8))
X[:,2:6] = 0
K = torch.tensor([[1.0, -1.0]]) # 如果颜色相同结果是0，否则表示颜色不同
Y= corr2d(X, K)

X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))

for i in range(50):
    Y_hat = conv2d(X)
    l = (Y_hat - Y)**2
    conv2d.zero_grad()
    l.sum().backward()
    conv2d.weight.data[:] -= 3e-2 * conv2d.weight.grad
    if (i + 1) % 2 == 0:
        print(f'batch {
      i+1}, loss {
      l.sum():.3f}')

print(conv2d.weight.data.reshape((1,2))) #学习到的Kernel tensor([[ 1.0000, -1.0000]])

三、填充与步幅

1 填充

为什么需要填充

考虑这样一个问题，给定一个(32 x 32)的输入图像，应用(5 x 5)大小的卷积核，那么在一层的输出就会减少4。第一层得到输出的大小为28 x 28；第7层得到的大小为4 x 4。

所以如果卷积核越大就能更快地减少输出，但是如果我们不想减少，就需要进行填充。

如何进行填充

在输入周围添加额外的行/列。

如下图，在原输入周围添上0，得到输出甚至比原输入还大。

p_h 表示填充行 = k_h - 1
p_w 表示填充列 = k_w - 1
当k_h 为奇数时：在上下两侧填充p_h / 2
当k_h 为偶数时：在上侧填充[p_h / 2]（这里是向上取整），在下侧填充[p_h / 2] （这里是向下取整）

填充后的输出形状如下

p_h 和p_w 这样取值的好处是保证输出和输入的形状相同。

2 步幅

为什么需要步幅

当我们输入一个224 x 224的图片，在使用5 x 5卷积核的情况要55层( (224 - 4) / (5 - 1))才能将输出降低到4 x 4。如果我们想要快速得到较小的输出，就需要使用步幅。

怎么进行步幅

步幅就是指行/列的滑动步长。之前我们进行卷积核的时候，默认的步幅是高度为1宽度为1，我们就可以更改步幅的大小来快速得到较小结果的输出。

下面看一个步幅高度为3， 宽度为2的例子。

因此，如果给定高度为s_h 和宽度为 s_w 的步幅，输出的形状如下。

如果p_h = k_h - 1 p_w= k_w - 1

如果输入高度和宽度可以被步幅整除

总结

• 填充和步幅都是卷积层的超参数
• 填充是在输入周围天剑额外的行/列，来控制输出减少量
• 步幅是每次滑动核窗口时的行/列的步长，可以成倍的减小输出大小。

3 代码

填充

# 1相同的高宽
def comp_conv2d(conv2d, X):
    X = X.reshape((1, 1) + X.shape) 
    Y = conv2d(X)
    return Y.reshape(Y.shape[2:])

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1) # ph = 1 pw = 1
X = torch.rand(size=(8, 8))
print(comp_conv2d(conv2d, X).shape) # torch.Size([8, 8])

# 2不同的高宽
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
print(comp_conv2d(conv2d, X).shape) # torch.Size([8, 8])

步幅

k_h = 3，p_h= k_h - 1 = 2，s_h = 2， n_h = 8
所以输出 = (8 - 3 + 2 + 2) / 2 = 4.5 (向下取整) = 4

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
print(comp_conv2d(conv2d, X).shape) # torch.Size([4, 4])

k_h = 3 p_h = 0 s_h = 3 n_h = 8
输出 = (8 - 3 + 20+ 3) / 3 = 2 (向下取整)

k_w = 5 p_w = 1 s_w = 4 n_w = 8
输出 = （8 - 5 + 1 + 4） / 4 = 2

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
print(comp_conv2d(conv2d, X).shape) # torch.Size([2, 2])

四、多输入和多输出通道

1 多个输入通道

每个通道都有一个卷积核，结果就是所有通道卷积结果的和

• 输入X：c_i x n_h x n_w
• 输出W：c_i x k_h x k_w
• 输出Y：m_h x m_w

2 多个输出通道

无论有多少输入通道，目前为止只用到单输出通道。但是我们可以有多个三维卷积核，让每个核生成一个输出通道

• 输入X：c_i x n_h x n_w
• 输出W：c_o x c_i x k_h x k_w
• 输出Y：c_o x m_h x m_w

3 1 x 1卷积层

不识别空间模式，只融合通道。相当于输入形状为n_h n_w x c_i ，权重为c_o x c_i 的全连接层。

4 二维卷积层

• 输入X：c_I x n_h x n_w
• 核W：c_o x c_i x k_h x k_w
• 偏差B：c_o x c_i
• 输出Y：c_o x m_h x m_w

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-uaP6cNQw-1660120418598)(https://s2.loli.net/2022/08/10/ijeaQmJbYCXnVt4.png)]

总结

• 输出通道数是卷积层的超参数
• 每个输入通道有独立的二维卷积核，所有通道结果相加得到一个输出通道结果
• 每个输出通道有独立的三维卷积核。

5 代码

多输入通道互相关函数

def corr2d_multi_in(X, K):
    return sum(d2l.corr2d(x, k) for x, k in zip(X, K))

X = torch.tensor([[[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]],
                  [[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0], [7.0, 8.0, 9.0]]])
K = torch.tensor([[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]], [[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]]])

print(corr2d_multi_in(X, K))
''' tensor([[ 56., 72.], [104., 120.]]) '''

多个通道的输出的互相关函数

def corr2d_multi_in(X, K):
    return sum(d2l.corr2d(x, k) for x, k in zip(X, K))

def corr2d_multi_in_out(X, K):
    return torch.stack([corr2d_multi_in(X, k) for k in K], 0)
X = torch.tensor([[[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]],
                  [[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0], [7.0, 8.0, 9.0]]])
K = torch.tensor([[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]], [[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]]])

K = torch.stack((K, K + 1, K + 2), 0)
print(K.shape)
print(corr2d_multi_in_out(X, K))
''' torch.Size([3, 2, 2, 2]) tensor([[[ 56., 72.], [104., 120.]], [[ 76., 100.], [148., 172.]], [[ 96., 128.], [192., 224.]]]) '''

1 x 1卷积

def corr2d_multi_in(X, K):
    return sum(d2l.corr2d(x, k) for x, k in zip(X, K))

def corr2d_multi_in_out(X, K):
    return torch.stack([corr2d_multi_in(X, k) for k in K], 0)

def corr2d_multi_in_out_1x1(X, K):
    c_i, h, w = X.shape
    c_o = K.shape[0]
    X = X.reshape((c_i, h * w))
    K = K.reshape((c_o, c_i))
    Y = torch.matmul(K, X)
    return Y.reshape((c_o, h, w))

X = torch.normal(0, 1, (3, 3, 3))
K = torch.normal(0, 1, (2, 3, 1, 1))

Y1 = corr2d_multi_in_out_1x1(X, K)
Y2 = corr2d_multi_in_out(X, K)
print(Y1)
print(Y2)
assert float(torch.abs(Y1 - Y2).sum()) < 1e-6
''' tensor([[[-2.0720, -2.6179, 0.2528], [ 3.1700, 1.9594, 3.2119], [ 0.7149, 1.7988, -5.8433]], [[ 0.8412, 1.8544, -2.2386], [ 1.8311, -1.2274, -1.5514], [-0.3987, -1.0444, 0.1570]]]) tensor([[[-2.0720, -2.6179, 0.2528], [ 3.1700, 1.9594, 3.2119], [ 0.7149, 1.7988, -5.8433]], [[ 0.8412, 1.8544, -2.2386], [ 1.8311, -1.2274, -1.5514], [-0.3987, -1.0444, 0.1570]]]) '''