总体分布假设检验原理-卡方检验

    对总体分布的假设检验是一种非参数检验，所谓非参数假设检验，即在不确定总体分布的数学形式下，对总体的各种一般性推断。例如，“X服从正态分布”，“X1，X2，…，Xn”同分布等都是非参数假设。对总体分布假设检验的一般形式：设x1,x2,…,xn,来自总体X的样本，据此样本需要检验假设
H₀ ：

• X的分布函数为F(x)
• 或X的概率密度函数为f(x)
• 或P(X_i)=p,i=1,2,…,k

H₁ ：X的***不是

例1

掷一颗骰子240次，得点数的频数(观测频数)如下，是否服从均匀分布？

解：设X表示掷这颗骰子一次出现的点数，其有6种可能取值，若X服从均匀分布，则p(x=i)=1/6，i=1,2,…,6。所以原假设可以写作如下形式：
H₀ ：X服从均匀分布，即
H₀ ：P(X=i)=p， i=1,2,…,6;p=1/6
计算卡方统计量公式如下，

    分别计算每种取值的观测频数和期望频数(理论频数)，得到卡方值，然后查表得到P值，通过P值与置信水平α来判断是否接受原假设，P值越大越容易接受原假设，即认为样本服从均匀分布。

例2

    随机抽取到一部分样本x，x为连续数据，问X是否服从正态分布？

解：假设x的概率密度函数为
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

其中μ和σ未知，可以通过极大似然方法对样本估计得到均值和方差的估计值。

有了概率密度函数，就可以设置原假设为：
H₀ ：X服从正态分布，即
H₀ ：X具有概率密度函数：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$，

    对于连续数据，计算卡方统计量时，需将原数据分箱处理，即转换为分组数据，然后分别计算每组的观测频数和期望频数(理论频数)，得到卡方值，查表得到P值，通过P值与置信水平α来判断是否接受原假设，P值越大越容易接受原假设，即认为样本服从正态分布。

卡方检验原理总结

    卡方检验是非参数假设检验方法，使用的统计量是卡方。例如做正态性假设检验时，需先根据现有样本，使用极大似然的方法估计出概率密度函数的参数：均值和方差，得到正态分布的概率密度函数f(x)的函数形式，从而可以计算概率值，进而可以计算期望频数(np)来计算卡方统计量，以及P值，通过P值和置信水平的大小比较来判断原假设是是否成立。
步骤：

• 使用极大似然的方法估计概率密度函数的参数值或直接估计概率
• 设置原假设为
  H0:概率密度函数=f(x)。
  或 P(x)=p
  3.计算卡方值，P值，判断是否接受原假设。

P值越大越容易接受原假设，即样本否从某种分布。

正态性检验工具

• k2, p = stats.normaltest(x)
  normaltest：非参数假设检验方法，正态性检验时，函数可以自行估计概率密度函数参数值。
• k2, p =scipy.stats.kstest(rvs=x,cdf=‘norm’,args=(0,1))
  kstest：非参数假设检验方法，正态性检验时，函数默认均值为0，方差为1
• k2, p =scipy.stats.shapiro(x)
  shapiro：非参数假设检验方法，适用于小样本(样本容量<5000)。正态性检验时，函数可以自行估计概率密度函数参数值。？？

normaltest、kstest、shapiro三者的原假设均可以为X服从正态分布，P值越小，越容易拒绝原假设，即认为数据不服从正态分布。

例

有如下数据，

import scipy
import numpy as np
rng = np.random.default_rng()

a = rng.normal(0, 1, size=3000)
b = rng.normal(10, 20, size=3000)
c = np.concatenate((a, b))

1. normaltest

k2, p = stats.normaltest(b)

2. kstest

注意：
    scipy.stats.normaltest是非参数假设检验总体分布，使用的统计量是卡方。先根据现有样本，使用极大似然的方法估计出均值和方差，得到正态分布的概率密度函数f(x)，原假设为H0:概率密度函数=f(x)。而ktest也是非参数检验方法，但是参数估计值默认是均值=0，方差=1或者需要手动输入均值和方差参数。所以，对于同一数据(非标准正态分布)，normaltest(估计样本得到参数)和ktest(使用默认参数)得到的结果自然不一样，甚至相反也很正常。也因此，做正态性假设检验时，最好对原数据z-score处理一下，不容易出错。

• 手动填入样本均值、标准差

• 对数据做z-score标准化处理

3. shapiro
   
   注意
   使用shapiro做正态性检验时，有一点要注意，如源代码介绍：shapiro适合检验样本容量小于5000的数据,超过5000时，P值将不在准确。

import numpy as np
import pandas as pd
a = rng.normal(0, 1, size=100)
b = rng.normal(10, 6, size=100)
c = np.concatenate((a, b))
d = rng.normal(0, 1, size=6000)
e = rng.normal(10, 5, size=10000)

x=[a,b,c,d,e]

p_list=[]
for da in x:
    _,p1=scipy.stats.shapiro(da)
    _,p2= scipy.stats.kstest(rvs=da,cdf='norm',args=(da.mean(),da.std()))
    _,p3 = stats.normaltest(da)
    p_list.append([p1,p2,p3])
df =pd.DataFrame(p_list,index=['a','b','c','d','e'],columns=['shapiro','kstest','normaltest'])
df>0.05