数论分块（整除分块）

前言：

断更太久，已经忘了博客怎么写了。。
这篇博客用来介绍带整除式子的快速求解办法。
 

符号说明:

$\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$ ：$a$除以$b$向下取整。
$\lceil \frac{a}{b}\rceil$ ：$a$除以$b$向上取整。
${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$  ： 累加符号，表示$f(1)+f(2)+\dots +f(n)$。
 
 

问题：

求解${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$，其中$1⩽n⩽1e12$。
 

正文：

首先，不难发现有一个o(n)的暴力。
我们需要一个$\sqrt{n}$的做法。
 
我们可以先举例观察，我们举$n=10$，然后枚举从$1$到$n$枚举$i$，观察$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的值。
 

$1$   $2$   $3$   $4$   $5$   $6$   $7$   $8$   $9$   $10$

$10$ $5$   $3$   $2$   $2$   $1$   $1$   $1$   $1$   $1$

 
就是上面这个样子。
不难发现也不难证明，相同的数都是连续的，可以把它分成一块一块值相同的段。那么我们可以利用这个性质，对于每一块，将这个块的数字乘上块的长度，就可以求解这一块的和了。
 
现在还有两个问题要解决。
一个是块的数量，一个是如何快速找到块的两端。
 
首先块的数量，对于$i$从$1$到$n$取值，$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的值的种数不会超过$2\sqrt{n}$，也就是块的数量不会超过$2\sqrt{n}$。
证明其实很容易，
嗯，可以证，前$\sqrt{n}$个$i$最多有$\sqrt{n}$种值，而当$i$大于$\sqrt{n}$时，取值一定小于$\sqrt{n}$，所以不超过$2\sqrt{n}$（摘自ztc口糊）。

 
那么第二个问题，快速找到块的端点。
当某一块的左端点为$l$，那么它的右端点$r$就是$\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$。 这个就更好证了。
也可以理解成，已知$i$，那么与$i$相同的块的右端点就是$\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\rfloor$
也就是说，当$i$的取值在$l$到$r$之间时，式子的结果是一样的，那么只要再乘上区间长度$(r-l+1)$即可。

最后再对于原问题，上模板代码：(有取模的加取模)

ll ans=0;
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    
	r=n/(n/l);
	ans+=(r-l+1)*(n/l);
}

 
 

例题及应用：

再拓展几个例题，有，但不全，还是要去多找题做。

问题1：

已知$w$和$n$，求解${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{w}{i}\rfloor$，其中$1⩽n,w⩽1e12$。

解：

与原题不同，这里的枚举上界$n$不再作为被除数。
那么在计算右端点$r$的时候，会引发一个细节问题。
看式子，$r=w/(w/l)$。会出现两个种特殊情况。
一种是$w/l==0$，此时再调用这个式子就会出现除$0$的情况，导致RE。
还有一种是，计算结果$r>n$，此时右端点不在边界内了。
要把这两种情况考虑进去，在原代码的基础上进行修改。

ll ans=0;
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    
	if(w/l)r=w/(w/l);
	else r=n;
	r=min(r,n);
	ans+=(r-l+1)*(w/l);
}

 
 

问题2：

已知$a,b$和$n$，求解${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{a}{i}\rfloor \lfloor \frac{b}{i}\rfloor$，其中$1⩽n,a,b⩽1e12$。

解：

在原问题的基础上多乘了一个，不过别怕，只不过从原来$2\sqrt{a}$个断点，变成了$2\sqrt{a}+2\sqrt{b}$个断点，复杂度仍然是根号级别的。
我们只要每次找最近的那个断点即可。

ll ans=0;
for(ll l=1,r,r1,r2;l<=n;l=r+1)
{
    
	if(a/l)r1=a/(a/l);
	else r1=n;
	if(b/l)r2=b/(b/l);
	else r2=n;
	r=min(r1,r2)
	r=min(r,n);
	ans+=(r-l+1)*(a/l)*(b/l);
}

 
 

问题3：

已知$w$和$n$，求解${\sum }_{i=1}^n\lceil \frac{w}{i}\rceil$，其中$1⩽n,w⩽1e12$。

解：

这是向上取整的，不好找到想原来一样的结论，但是我们可以把向上取整转化为向下取整。
$\lceil \frac{w}{i}\rceil =\lfloor \frac{w+i-1}{i}\rfloor =\lfloor \frac{w-1}{i}\rfloor +1$
就可以轻松解决了。

ll ans=0;
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    
	if((w-1)/l)r=(w-1)/((w-1)/l);
	else r=n;
	r=min(r,n);
	ans+=(r-l+1)*((w-1)/l+1);
}

 
 

问题5：

已知$w$和$n$，求解${\sum }_{i=1}^{n}i\lfloor \frac{w}{i}\rfloor$，其中$1⩽n,w⩽1e12$。

解：

多乘了一个$i$，与原来不同的就是，这次我们不能再乘$r-l+1$了，前面$r-l+1$的本质其实是那一段的区间和，这时候我们要乘上的是区间$i$的求和。（因为这段区间里$\lfloor \frac{w}{i}\rfloor$是一样的，相当于一个常系数，所以才可以这么乘的）

ll ans=0;
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    
	if(w/l)r=w/(w/l);
	else r=n;
	r=min(r,n);
	ans+=(r-l+1)*(l+r)/2*(w/l);
}

 
 

问题6：模和积

求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(nmodi)\times (mmodj),i\ne j$模$19940417$的值。
其中$1⩽n,m⩽1e9$。

解：

首先要知道$(nmodi)=n-i\times \lfloor \frac{w}{i}\rfloor$。
然后开始化式子，注意$i\ne j$的条件不能忽略。

化好公式后，就可以写了。

#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=19940417;
typedef pair<int,int> P;
const ll MAXN=1000000;

const ll inv6=3323403;
ll sum(ll l,ll r,ll flag)
{
    
    if(flag==1)
    {
    
        return (r-l+1)*(l+r)/2%mod;
    }
    else
    {
    
        return (r*(r+1)%mod*(2*r+1)%mod*inv6%mod-(l-1)*l%mod*(2*l-1)%mod*inv6%mod+mod)%mod;
    }
}

int main()
{
    
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll sum1=0;
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1)
    {
    
        r=n/(n/l);
        sum1=(sum1+n*(r-l+1)%mod-sum(l,r,1)*(n/l)%mod+mod)%mod;
    }
    ll sum2=0;
    for(ll l=1,r;l<=m;l=r+1)
    {
    
        r=m/(m/l);
        sum2=(sum2+m*(r-l+1)%mod-sum(l,r,1)*(m/l)%mod+mod)%mod;
    }
    ll nm=min(n,m);
    ll sum3=0;
    for(ll l=1,r,r1,r2;l<=nm;l=r+1)
    {
    
        if(n/l)r1=n/(n/l);
        else r1=nm;
        if(m/l)r2=m/(m/l);
        else r2=nm;
        r=min(r1,r2);
        r=min(r,nm);
        sum3=(sum3+n*m%mod*(r-l+1)%mod-(n*(m/l)%mod+m*(n/l)%mod)*sum(l,r,1)%mod+sum(l,r,2)*(n/l)%mod*(m/l)%mod+mod)%mod;
    }
    ll ans=(sum1*sum2-sum3+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 
 

问题7：余数求和

解：

问题6的简化版本，就不贴代码了。