单峰函数极值问题的解决方案 : 三分 ＆ 二分与三分的本质区别

题目描述

这是 LeetCode 上的 852. 山脉数组的峰顶索引 ，难度为 简单。

Tag : 「二分」、「三分」

符合下列属性的数组 arr 称为 山脉数组 ：

• arr.length >= 3
• 存在 i（0 < i < arr.length - 1） 使得：

  • arr[0] < arr[1] < ... arr[i-1] < arr[i]
  • arr[i] > arr[i+1] > ... > arr[arr.length - 1]

给你由整数组成的山脉数组 arr ，返回任何满足 arr[0] < arr[1] < ... arr[i - 1] < arr[i] > arr[i + 1] > ... > arr[arr.length - 1] 的下标 i 。

示例 1：

输入：arr = [0,1,0]

输出：1

示例 2：

输入：arr = [0,2,1,0]

输出：1

示例 3：

输入：arr = [0,10,5,2]

输出：1

示例 4：

输入：arr = [3,4,5,1]

输出：2

示例 5：

输入：arr = [24,69,100,99,79,78,67,36,26,19]

输出：2

提示：

• 题目数据保证 arr 是一个山脉数组

进阶：很容易想到时间复杂度 的解决方案，你可以设计一个 的解决方案吗？

二分

往常我们使用「二分」进行查值，需要确保序列本身满足「二段性」：当选定一个端点（基准值）后，结合「一段满足 & 另一段不满足」的特性来实现“折半”的查找效果。

但本题求的是峰顶索引值，如果我们选定数组头部或者尾部元素，其实无法根据大小关系“直接”将数组分成两段。

但可以利用题目发现如下性质：由于 arr 数值各不相同，因此峰顶元素左侧必然满足严格单调递增，峰顶元素右侧必然不满足。

因此 以峰顶元素为分割点的 arr 数组，根据与 前一元素/后一元素 的大小关系，具有二段性：

• 峰顶元素左侧满足 性质，右侧不满足
• 峰顶元素右侧满足 性质，左侧不满足

因此我们可以选择任意条件，写出若干「二分」版本。

代码：

class Solution {
    // 根据 arr[i-1] < arr[i] 在 [1,n-1] 范围内找值
    // 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int l = 1, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (arr[mid - 1] < arr[mid]) l = mid;    
            else r = mid - 1;
        }
        return r;
    }
}

class Solution {
    // 根据 arr[i] > arr[i+1] 在 [0,n-2] 范围内找值
    // 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素值
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int l = 0, r = n - 2;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (arr[mid] > arr[mid + 1]) r = mid;    
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
}

class Solution {
    // 根据 arr[i-1] > arr[i] 在 [1,n-1] 范围内找值
    // 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素的前一个值
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int l = 1, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (arr[mid - 1] > arr[mid]) r = mid;    
            else l = mid + 1;
        }
        return r - 1;
    }
}

class Solution {
    // 根据 arr[i] < arr[i+1] 在 [0,n-2] 范围内找值
    // 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素的下一个值
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int l = 0, r = n - 2;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (arr[mid] < arr[mid + 1]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return r + 1;
    }
}

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

三分

事实上，我们还可以利用「三分」来解决这个问题。

顾名思义，「三分」就是使用两个端点将区间分成三份，然后通过每次否决三分之一的区间来逼近目标值。

具体的，由于峰顶元素为全局最大值，因此我们可以每次将当前区间分为 、 和 三段，如果满足 ，说明峰顶元素不可能存在与 中，让 即可。另外一个区间分析同理。

代码：

class Solution {
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int m1 = l + (r - l) / 3, m2 = r - (r - l) / 3;
            if (arr[m1] > arr[m2]) r = m2 - 1;                
            else l = m1 + 1;    
        }
        return r;
    }
}

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

二分 & 三分 & k 分 ？

必须说明一点，「二分」和「三分」在渐进复杂度上都是一样的，都可以通过换底公式转化为可忽略的常数，因此两者的复杂度都是 。

而选择「二分」还是「三分」取决于要解决的是什么问题：

• 二分通常用来解决单调函数的找 问题，但进一步深入我们发现只需要满足「二段性」就能使用「二分」来找分割点；
• 三分则是解决单峰函数极值问题。

因此一般我们将「通过比较两个端点，每次否决 1/3 区间 来解决单峰最值问题」的做法称为「三分」；而不是简单根据单次循环内将区间分为多少份来判定是否为「三分」。

随手写了一段反例代码：

class Solution {
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int left = 0, right = arr.length - 1;
        while(left < right) {
            int m1 = left + (right - left) / 3;
            int m2 = right - (right - left + 2) / 3;
            if (arr[m1] > arr[m1 + 1]) {
                right = m1;
            } else if (arr[m2] < arr[m2 + 1]) {
                left = m2 + 1;
            } else {
                left = m1; right = m2;
            }
        }
        return left;
    }
}

这并不是「三分」做法，最多称为「变形二分」。本质还是利用「二段性」来做分割的，只不过同时 check 了两个端点而已。

如果这算「三分」的话，那么我能在一次循环里面划分 个端点来实现 分？

显然这是没有意义的，因为按照这种思路写出来的所谓的「四分」、「五分」、「k 分」是需要增加同等数量的分支判断的。这时候单次 while 决策就不能算作 了，而是需要在 的复杂度内决定在哪个分支，就跟上述代码有三个分支进行判断一样。

因此，这种写法只能算作是「变形二分」。

综上，只有「二分」和「三分」的概念，不存在所谓的 分。 同时题解中的「三分」部分提供的做法就是标准的「三分」做法。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.852 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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