一.牛顿迭代法

首先随便猜一个近似值 n，然后不断令 n 等于 n 和 x/n 的平均数，迭代个六七次后 n 的值就已经相当精确了。

例如，我想求根号 2 等于多少。假如我猜测的结果为 4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号 2 了：

( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25

( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..

( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..

( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

….

这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用 (x, f(x))的切线来逼近方程 x^2-n=0的根。根号 n 实际上就是 x^2-n=0的一个正实根，这个函数的导数是 2x。也就是说，函数上任一点 (x,f(x)) 处的切线斜率是 2x。那么，x-f(x)/(2x) 就是一个比 x 更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到  x-(x^2-a)/(2x)，也就是 (x+a/x)/2。同样的方法可以用在其它的近似值计算中。

代码如下：（近似值n取x）

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x)
    {
        if(x==0)
            return 0;
        int n = x;//n 为随便猜的值x
        return int(newton(n,x));
    }
    double newton(double n,int x)
    {
        double curr = (n+x/n)/2;
        if(curr == n)
        {
            return curr;
        }
        else
            return newton(curr,x);
    }
};

二.二分法

//0-x有序，采用二分法
class Solution {
public:
    int mySqrt(int x)
    {
        int left = 0;
        int right = x;
        int ans = -1;//储存符合条件：mid*mid<=x 的值
        if(x==1)
            return 1;
        else if(x==0)
            return 0;
        while(right>=left)
        {
            int middle = left+(right-left)/2;//(left+right)/2
            if(middle*middle<=x)
            {
                ans = middle;
                left = middle+1;
            }
            else
            {
                right = middle-1;
            }
        }
        return ans;
    }
};