单极性非归零NRZ码、双极性非归零NRZ码、2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK及MATLAB仿真

  这篇博客是用MATLAB仿真观察二进制数字信号码元速率和它的带宽的关系。书上给了数字基带信号和频带信号的功率谱密度，但是我还没搞明白FFT与功率谱密度的关系，所以博客里图片的信号幅值就不要纠结啦，看包络形状和带宽就行。如果有明白FFT与功率谱密度的关系的朋友看到博客，请留言告诉我。

单极性非归零NRZ码

  在表示一个码元时，二进制符号1和0分别对应基带信号的正电平和零电平，在整个码元持续时间，电平保持不变。发1和发0等概率时，单极性非归零NRZ信号的功率谱密度为$$P_s(f)=\frac{1}{4}{T}_{b}S{a}^2(\pi f{T}_b)+\frac{1}{4}\delta (f)$$ $T_b(s)$ 是码元宽度，码元速率$R_B=\frac{1}{T_b}(Baud)$。功率谱的带宽近似为$f_b=\frac{1}{T_b}(Hz)$(Sa函数第一零点）。
  下图为单极性非归零NRZ码的幅频特性，用MATLAB的fft函数计算的（下同），码元速率$R_B=100Baud$，抽样频率$f_s=5000Hz$，由于fft函数计算结果是对称的，所以只画了一半的图像。可以看到0频率处有一个冲激信号，第一个零点在100$Hz$处。

双极性非归零NRZ码

  二进制符号1和0分别对应基带信号的正电平和负电平， 双极性非归零NRZ码具有直流分量小、抽样判决门限为０、可以在电缆等不接地线上传输等优点。 发1和发0等概率时，双极性非归零NRZ码的功率谱密度为$$P_s(f)=T_{b}S{a}^2(\pi f{T}_b)$$ 带宽近似为$f_b=\frac{1}{T_b}$。
  下图为双极性非归零NRZ码的幅频特性，也是用fft函数计算的，$R_B=100Baud$，$f_s=5000Hz$。可以看到0频率处没有冲激信号，第一个零点在100$Hz$处。

二进制幅度键控（2ASK）

  2ASK是利用代表数字信息的0或1的基带矩形脉冲去键控一个连续的高频载波，使载波时断时续地输出。2ASK信号可以表示为$$s_{2ASK}(t)=s(t)cos({\omega }_{c}t)$$ ${\omega }_c$是载波角频率，$s(t)$为单极性非归零NRZ矩形脉冲序列。
  2ASK信号的频谱类似AM信号的频谱，都是将低频信号的频谱搬移到载波频率的位置，带宽是低频信号带宽的两倍，即$$B_{2ASK}=2f_b=\frac{2}{T_b}=2R_B$$ 2ASK的频带利用率为$$\eta =\frac{R_B}{B_{2ASK}}=\frac{1}{2}Baud/Hz$$
  下图为2ASK信号的幅频特性，$R_B=100Baud$，$f_s=5000Hz$，$f_c=1000Hz$。可以看到1000$Hz$频率处有一冲激信号，主瓣的第一个零点在1100$Hz$和900$Hz$处，带宽为200$Hz$。

二进制频移键控（2FSK)

  2FSK信号是1对应于载频$f_1$，0对应载频$f_2$，$f_1$与$f_2$之间的改变是瞬间完成的。2FSK信号可以表示为$$s_{2FSK}(t)=s(t)cos({\omega }_{1}t+{\varphi }_n)+\overline{s(t)}cos({\omega }_{2}t+{\theta }_n)$$ $s(t)$为单极性非归零矩形脉冲序列，$\overline{s(t)}$为对$s(t)$逐码取反形成的矩形脉冲序列，${\varphi }_n$和${\theta }_n$是第n个码元的初相位。
  2FSK可以视为两路2ASK信号的合成，其中一路以$s(t)$为基带信号，${\omega }_1$为载频，另一路以$\overline{s(t)}$为基带信号，${\omega }_2$为载频。因此，2FSK信号的频谱也是两个2ASK频谱之和。2FSK的带宽为为$$B_{2FSK}=|f_2-f_1|+2f_b$$ $f_b=\frac{1}{T_b}$是基带信号的带宽，数值上等于码元速率。
  下图为2FSK信号的幅频特 性，$R_B=100Baud$，$f_s=5000Hz$，$f_1=1000Hz$，$f_2=2000Hz$。可以看到1000$Hz$和2000$Hz$频率处各有一个冲激信号，2FSK信号带宽为$$B_{2FSK}=2000-1000+2\times 100=1200Hz$$

二进制相移键控（2PSK）和二进制差分相移键控（2DPSK）

  2PSK是利用载波的相位直接表示数字信息的相移方式，通常用相位0和相位π来分别表示0或1。2PSK信号可以表示为$$s_{2PSK}(t)=s(t)cos({\omega }_{c}t)$$ ${\omega }_c$是载波角频率，$s(t)$为双极性非归零NRZ矩形脉冲序列。
  因为$s(t)$的均值为0，2PSK可以视为抑制载波双边带调幅，2PSK的连续谱部分与2ASK的连续谱部分形状基本相同。2PSK信号的带宽为$$B_{2PSK}=2f_b=\frac{2}{T_b}=2R_B$$
频带利用率为$${\eta }_{2PSK}=\frac{R_B}{B_{2PSK}}=\frac{1}{2}Baud/Hz$$
  2DPSK是用前后码元的相对载波相位值传送数字信息，相对载波相位是指本码元与前一码元初相之差。2DPSK可以由原0、1序列的相对码（差分码）经过绝对相移键控（2PSK）而形成，2DPSK信号也可以表示为$$s_{2DPSK}(t)=s(t)cos({\omega }_{c}t)$$ $s(t)$为差分码数字序列。
  2DPSK与2PSK有相同的带宽和频带利用率，即$$B_{2DPSK}=B_{2PSK}$$ $${\eta }_{2DPSK}={\eta }_{2PSK}$$
  下图为2PSK信号的幅频特性，$R_B=100Baud$，$f_s=5000Hz$，$f_c=1000Hz$。可以看到1000$Hz$频率处没有冲激信号，主瓣的第一个零点在1100$Hz$和900$Hz$处，带宽为200$Hz$。2DPSK的幅频特性与2PSK相同。

MATLAB仿真

%% Parameter
fs = 5000;  %sampling frequency Hz
fc1 = 1000; %carrier frequency Hz
fc2 = 2000; %carrier frequency Hz
RB = 100;   %Code Rate Baud
M = 2;      %Size of signal constellation
k = log2(M);%Number of bits per symbol
N = 10000;  %Number of bits to process
n = 2^(ceil(log2(N*fs/RB)));
t = (0:n-1)./fs;       % time vector
f = (-n/2:n/2-1)*fs/n; %frequency range
%% Generate code or signal
data_in = randi([0,k],N,1);%unipolar code
unipolar_nrz_st = zeros(1,n);
bipolar_nrz_st = zeros(1,n);
% 1 δφ=π, 0 δφ=0
differencial_st = zeros(1,n);
last_bit = -1;
for i = 0:N-1
    unipolar_nrz_st((i*fs/RB+1):((i+1)*fs/RB)) = data_in(i+1);%unipolar non-zero signal
    if data_in(i+1) == 1
        bipolar_nrz_st((i*fs/RB+1):((i+1)*fs/RB)) = 1;%bipolar non-zero signal
        last_bit = -last_bit;
        differencial_st((i*fs/RB+1):((i+1)*fs/RB)) = last_bit;%differencial signal
    else
        bipolar_nrz_st((i*fs/RB+1):((i+1)*fs/RB)) = -1;
        differencial_st((i*fs/RB+1):((i+1)*fs/RB)) = last_bit;
    end
end
%% Unipolar non-zero signal
%Baseband
S = fftshift(fft(unipolar_nrz_st));
figure('Name','Unipolar non-zero signal','NumberTitle','off');
subplot(3,1,1);
plot(f,abs(S)*2/n);
grid minor;
ylim([0,0.1]);
xlabel('f/Hz');
ylabel('S(f)');
title('Baseband signal');
%2ASK
s_ask = unipolar_nrz_st.*cos(2*pi*fc1*t);
S_ask = fftshift(fft(s_ask));
subplot(3,1,2);
plot(f,abs(S_ask)*2/n);
grid minor;
ylim([0,0.1]);
xlabel('f/Hz');
ylabel('S_{2ASK}(f)');
title('2ASK');
%2FSK
s_fsk = unipolar_nrz_st.*cos(2*pi*fc1*t) + (~unipolar_nrz_st).*sin(2*pi*fc2*t);
S_fsk = fftshift(fft(s_fsk));
subplot(3,1,3);
plot(f,abs(S_fsk)*2/n);
grid minor;
ylim([0,0.1]);
xlabel('f/Hz');
ylabel('S_{2FSK}(f)');
title('2FSK');
%% Bipolar non-zero signal
%Baseband
S = fftshift(fft(bipolar_nrz_st));
figure('Name','Bipolar non-zero signal','NumberTitle','off');
subplot(3,1,1);
plot(f,abs(S)*2/n);
grid minor;
xlabel('f/Hz');
ylabel('S(f)');
title('Baseband signal');
%2PSK
s_psk = bipolar_nrz_st.*cos(2*pi*fc1*t);
S_psk = fftshift(fft(s_psk));
subplot(3,1,2);
plot(f,abs(S_psk)*2/n);
grid minor;
xlabel('f/Hz');
ylabel('S_{2PSK}(f)');
title('2PSK');
%2DPSK
s_dpsk = differencial_st.*cos(2*pi*fc1*t);
S_dpsk = fftshift(fft(s_dpsk));
subplot(3,1,3);
plot(f,abs(S_dpsk)*2/n);
grid minor;
xlabel('f/Hz');
ylabel('S_{2DPSK}(f)');
title('2DPSK');

仿真结果