在上一章回归那节，我们讨论了如何找到一个最好模型的过程，也就是去找一组参数θ，让这个loss函数越小越好：
$${\theta }^{\ast }=arg\underset{\theta }{\min }L(\theta )$$
当θ有两个参数$\{{\theta }_1，{\theta }_2\}$时，随机选择一组起始的点${\theta }^0=\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^0\\ {\theta }_2^0\end{array}\right]$，上标0代表为初始的那一组参数，下标1，2代表是这一组参数中的第一个参数和第二个参数。

接下来计算$\{{\theta }_1，{\theta }_2\}$各自的偏微分：

• $\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^1\\ {\theta }_2^1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^0\\ {\theta }_2^0\end{array}\right]-\eta \left[\begin{array}{c}\frac{\partial L({\theta }_1^0)}{\partial {\theta }_1}\\ \frac{\partial L({\theta }_2^0)}{\partial {\theta }_2}\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^2\\ {\theta }_2^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^1\\ {\theta }_2^1\end{array}\right]-\eta \left[\begin{array}{c}\frac{\partial L({\theta }_1^1)}{\partial {\theta }_1}\\ \frac{\partial L({\theta }_2^1)}{\partial {\theta }_2}\end{array}\right]$

对于$\{{\theta }_1，{\theta }_2\}$的偏微分还有另外一种写法：$▽L(\theta )$也被叫做梯度（Gradient），代表一组向量（vector）
$$▽L(\theta )=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial L({\theta }_1)}{\partial {\theta }_1}\\ \frac{\partial L({\theta }_2)}{\partial {\theta }_2}\end{array}\right]$$

• ${\theta }^1={\theta }^0-\eta ▽L({\theta }^0)$
• ${\theta }^2={\theta }^1-\eta ▽L({\theta }^1)$

下图是梯度下降（Gradient Descent）的可视化过程：红色的箭头代表梯度的方向，蓝色的箭头代表参数更新的方向，两者是相反的。

一、调整学习率

• 当你有3个及以上的参数时，是无法可视化梯度下降（Gradient Descent）的过程的。但是却可以可视化学习率（learning rate）η和Loss值之间的曲线。

1.1 自适应学习率（Adaptive Learning Rates）

• 在开始时，由于我们距离最优解有较远的距离，因此可以采用较大的学习率，加大梯度下降的步伐。
• 在经过几轮的训练后，我们此时比较靠近最优解，所以要减小学习率，降低梯度下降的步伐，防止在最优解附近一直震荡。
• 最简单的策略是让学习率随着时间的变化而变化，如：${\eta }^t=\frac{\eta }{\sqrt{t+1}}$
• 但并不是所有的参数都适用这样一套调整策略

1.2 Adagrad

• Adagrad是将每个参数的学习率除以其先前微分值的均方根（root mean square ）

让我们来看一看普通的梯度下降（Vanilla Gradient descent）和Adagrad之间的区别：

• Vanilla Gradient descent：
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• Adagrad：${\sigma }^t$代表参数w先前所有微分值的均方根（root mean square ）
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• 下面是Adagrad的具体推导过程和最终的简化写法：

• 在最终的简化写法中存在着一些矛盾（Contradiction）之处：当梯度g越大时，我们期望得到更大的下降步伐，然而式子的分母却在阻止我们这样做。

• 对于这个问题，有这样两种解释：

  • 直观的解释（Intuitive Reason）：为了强调某一次梯度的反差效果（特别大或者特别小），我们加上了分母这一项
  

  • 更正式的解释：

    • 对于一个参数：当我们踏出去的步伐和微分的大小成正比时，那么有可能就是最好的步伐。
    
    • 比较不同的参数（Comparison between different parameters）：为了真实反映所在位置和最低点之间的距离，我们不仅要正比于梯度g的一次微分，还要反比于梯度g的二次微分。
    

• 下图是对式子中分母这一项来估计二次微分的解释：当采样足够多的点，梯度g的平方和再开根号就可以近似等于梯度g的二次微分

二、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）

• 随机梯度下降相比普通的梯度下降要快很多：
  • 这是因为对于随机梯度下降而言，它会看每一个example的loss值，相当于走了20步

三、特征缩放（Feature Scaling）

• 将x₁和x₂两个不同的特征分布缩放到同一比例：
  • 如右图，这样做的意义是让我们在做梯度下降这一过程时变得更加容易，更加有效率。因为经过特征缩放后的起始点无论从哪里开始，做梯度下降的方向都是指向最低点的。

• Z分数归一化（Z-Score Normalization）
  • Z分数归一化是实现特征缩放的一种常见方法。其工作原理为算出每一维（行）特征的均值m_i和标准差σ_i，然后将特征矩阵的每一个值$x_i^r$都减去均值m_i并除以标准差σ_i，这样更新后的$x_i^r$就都处于0~1之间了。

四、数学推导

• 泰勒级数（Taylor Series）：
  • 设h(x)是任意函数在x=x₀附近可微，那么h(x)可以写成下面这样

• 多变量泰勒级数（Multivariable Taylor Series）：
  • 根据泰勒级数的定义，如果右图中的红圈足够小，那么在红圈内就可以把loss函数用泰勒级数做简化
  • 简化之后，就变成了在红圈范围内找${\theta }_1,{\theta }_2$使得loss值最小的问题
  • 当推导到最后一步时，就变成了我们之前做梯度下降的式子，但式子成立的前提是红圈的半径r要足够小，由于学习率$\eta$是和r成正比的，所以学习率不能太大，理论上要无穷小时式子才会成立，但在实际操作的过程中只要足够小就可以了。
  • 上面的推导过程我们采用的是泰勒级数的一次式，当考虑到二次，三次，甚至是多次时，我们对红圈的要求就没有那么大了，理论上学习率也可以调的高一点。但在深度学习的过程中却很少这么做，这是因为由此带来的庞大计算量是无法承受的。

五、梯度下降的限制（More Limitation of Gradient Descent）

• 在做梯度下降的过程，实际上就是在找loss函数微分为0的地方，然而微分为0的地方却不一定是局部最优解，它还可能是图中的鞍点。
• 另外在实际求解的过程中，我们并不是找微分真正为0的点，而是当微分小于某一个数（如10的-6次方）的点，实际上这个点可能还在一个比较高的地方，离要找的局部最优解仍然很远。
• 在下一章我们会继续讨论这个问题