一、题目

1、题目描述

  给你一个整数 $n$，你需要重复执行多次下述操作将其转换为 $0$ ：
    1）翻转 $n$ 的二进制表示中最右侧位（第 $0$ 位）。
    2）如果第 $(i-1)$ 位为 $1$ 且从第 $(i-2)$ 位到第 $0$ 位都为 $0$，则翻转 $n$ 的二进制表示中的第 $i$ 位。
  返回将 $n$ 转换为 $0$ 的最小操作次数。
  样例输入： n = 3
  样例输出： 2

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

int minimumOneBitOperations(int n){
    

}

3、原题链接

LeetCode 1611. 使整数变为 0 的最少操作次数

二、解题报告

1、思路分析

  $(1)$ $1$ 通过 $1$ 次 变成 $0$；
  $(2)$ $10$ 通过先变成 $11$，再翻转最高位变成 $01$，然后变成 $0$，总共 3 次；
  $(3)$ $100$ 通过 3次变成 $110$，再翻转最高位变成 $010$，再三次变成 $0$，总共 7 次；
  $(4)$ 根据数学归纳法，我们发现，对于 $1\underset{k}{\underbrace{0...0}}$，变到 $0$ 的次数为 $2^{k+1}-1$ 次；
  $(5)$ 然后我们对一个数 $n$ 进行二进制分解 $n=(101011{)}_2$ ，那么我们必须先想办法把最高位的 $1$ 变成 $0$，于是就转化成了求将 $(01011{)}_2$ 转化为 $(10000{)}_2$ 的最少步数；而对于 $(01011{)}_2$ 要转化成 $(10000{)}_2$，又可以转化成将 $(1011{)}_2$ 转化成 $(1000{)}_2$ 的最少步数；然后就是 $(011{)}_2$ 要变成 $(000{)}_2$， 也就是 $(11{)}_2$ 变成 $(00{)}_2$；
  $(6)$ 于是得出算法：
    $(6.1)$ 首先将 $n$ 进行二进制分解；
    $(6.2)$ 一个数如果要变到 $1\underset{k}{\underbrace{0...0}}$ ，则调用递归dfs1(n)；如果要变到 $0$，则调用递归dfs2(n)，于是递归求解dfs2(n)就是答案了。

2、时间复杂度

   最坏时间复杂度 $O(lo{g}_{2}n)$ 。

3、代码详解

int dfs1(int *bit, int d);            // (1)
int dfs2(int *bit, int d);            // (2)

int dfs1(int *bit, int d) {
               
    if(d == 0) {
    
        return bit[0] ^ 1;
    }
    if(!bit[d]) {
                         
        return dfs1(bit, d-1) + 1 + ( (1<<d) - 1 );
    }
    return dfs2(bit, d-1);
}

int dfs2(int *bit, int d) {
    
    if(d == 0) {
    
        return bit[0];
    }
    if(bit[d]) {
        
        return dfs1(bit, d-1) + 1 + ( (1<<d) - 1 );
    }
    return dfs2(bit, d-1);
}


int minimumOneBitOperations(int n){
    
    if(n == 0) {
    
        return 0;
    }
    int stk[100], top = 0;
    while(n) {
    
        stk[top++] = n & 1;
        n >>= 1;
    } 
    return dfs2(stk, top-1);
}

• $(1)$ int dfs1(int *bit, int d)表示 $bit[d:0]\to 1\underset{d}{\underbrace{0...0}}$ 的最少步数；
• $(2)$ int dfs2(int *bit, int d)表示 $bit[d:0]\to 0\underset{d}{\underbrace{0...0}}$ 的最少步数；
• $(3)$ 对于这两个函数，判断 bit[d]这一位和要求的位是否一致，如果不一致，则需要利用规则二进行翻转；如果一直，则继续计算 $bit[d-1:0]\to 0\underset{d-1}{\underbrace{0...0}}$ 的最少步数；

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三、本题小知识

  递归求解某个问题的时候，抽象出中间步骤，会清晰许多；

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四、加群须知

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