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線性代數第一章-行列式

2022-04-23 06:07:00 【＃self-discipline＃】

1.二元線性方程組與二階行列式的矩陣解法

2.三階行列式的數值

3.全排列和對換

對於n個元素，規定一種標准次序（常規定從小到大排列），對於一個排列而言，當某一對元素的次序與標准規定不同，就構成一個逆序，一個排列中所有的逆序總數稱為這個排列的逆序數。

$t=t_{1}+t_{2}+...+t_{n}$

4.對換

定理一：一個排列中的任意兩個元素對換，排列逆序數奇偶性變化。

推論：奇（偶）排列對換成標准排列的對換次數就是奇（偶）數

5.n階行列式：做出錶中比特於不同行不同列的n個數的乘積，並冠以符號,其中t為p1,p2,...,p3...關於自然數1，2，3...的這個排列的逆序數，得到行列式數值 $\sum (-1)^ta_{1p_{1}}a_{2p_{2}}...a_{np_{n}}$

6.行列式的性質

6.1行列式和它的轉置行列式相等

6.2對換行列式的兩行（列），行列式變號

6.2推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等於零

6.3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數k，等於用數k乘此行列式

6.3推論：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面

6.4行列式如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等於零

6.5若行列式的某一行（列）的元素是多數之和，可拆分為多個行列式相加

6.6把行列式的某一行（列）的各元素乘同一數然後加到另一行（列）對應的元素上，行列式不變

￥￥7行列式的化簡

1通過知識點六的各規則可以將行列式簡化成三角行列式，直接對角線元素相乘得到結果。

行列式化簡特點

2用低階行列式錶示高階行列式

概念：

餘子式：在n階行列式中，把（i，j）元所在的第i行和第j列劃去後，留下來的n-1階行列式叫做（i，j）元的餘子式，記作 $M_{ij}$

代數餘子式： $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

定理：行列式等於它的任一行（列）的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和（往往可以簡化行列式到一行或一列只有一個非零元再通過該定理降階）

特殊行列式：範德蒙德行列式

推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數餘子式乘積之和等於零。

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